Cho các số thực dương \(x,y,z\) và thỏa mãn \(x+y+z=3.\) Biểu thức \(P={{x}^{4}}+{{y}^{4}}+8{{z}^{4}}\) đạt GTNN bằng \(\frac{a}{b},\) trong đó \(a,b\) là các số tự nhiên dương, \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a-b.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} 9 = {(x + y + \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\sqrt 2 .z)^2} \le \frac{5}{2}({x^2} + {y^2} + 2{z^2}) = \frac{5}{2}({x^2} + {y^2} + \frac{1}{{\sqrt 2 }}.2.\sqrt 2 .{z^2}) \le \frac{5}{2}.\sqrt {\frac{5}{2}.({x^4} + {y^4} + 8{z^4})} \\ = > {x^4} + {y^4} + 8{z^4} \ge {(9:\frac{5}{2})^2}:\frac{5}{2} = \frac{{648}}{{125}} \end{array}\)
Vậy GTNN của P là \(\frac{a}{b}=\frac{648}{125}=>a-b=523\)
Câu hỏi liên quan
-
Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Tính thể tích của khối lập phương đó là?
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo \(BD'\). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.
-
Giá trị của tổng \(S=C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+...+C_{100}^{3}\) bằng
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), khoảng cách từ \(C\) đến \(BB'\) bằng \(2a,\) khoảng cách từ \(A\) đến các đường thẳng \(BB'\) và \(CC'\) lần lượt bằng \(a\) và \(a\sqrt{3}\), hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng\(\left( A'B'C' \right)\) là trung điểm \(M\) của \(B'C'\) và \(A'M=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\) Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
-
Một hình lập phương có cạnh 4cm. Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm. Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ?
-
Anh Minh muốn xây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được \(3200c{{m}^{3}}\), tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 . Xác định diện tích đáy của hố ga để khi xây hố tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất.
-
Giả sử trong trận chung kết AFF Cup 2018, đội tuyển Việt Nam phải phân định thắng thua trên chấm đá phạt 11 m. Biết xác suất để mỗi cầu thủ Việt Nam thực hiện thành công quả đá 11 m của mình đều là 0,8. Gọi \(P\) là xác suất để đội tuyển Việt Nam thực hiện thành công từ 4 quả trở lên trong 5 lượt sút đầu tiên. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB=a\sqrt{3},BC=2a,\) đường thẳng \(AC'\) tạo với mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) một góc \({{30}^{0}}.\) Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang có \(AD//BC,M\) là điểm di động trong hình thang \(ABCD.\) Qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(SA\) và \(SB\) lần lượt cắt các mặt \(\left( SBC \right)\) và \(\left( SAD \right)\) tại \(N\) và \(P.\) Cho \(SA=a,SB=b.\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=M{{N}^{2}}.MP.\)
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có độ dài cạnh bằng \(a,\left( S \right)\) là mặt tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện \(ABCD.M\) là một điểm thay đổi trên \(\left( S \right).\) Tính tổng \(T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}+M{{D}^{2}}.\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có \(f'\left( x \right)={{\left( x+2 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}\left( -x+5 \right).\) Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đại hàm \(f'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2{{x}^{2}}-12x+m \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?
-
Cho hai số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \({{\log }_{4}}a={{\log }_{6}}b={{\log }_{9}}\left( a+b \right).\) Tính \(\frac{a}{b}.\)
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật có \(AB=a;BC=2a.\) Hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và mặt phẳng \(\left( SAD \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh \(SC\) hợp với mặt đáy góc \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a.\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
.jpg.png)
Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(f\left( \frac{1}{\cos x} \right)=m\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right)\) là?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3x+2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
-
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ
.jpg.png)
Hàm số \(y=f\left( 1-x \right)+\frac{{{x}^{2}}}{2}-x\) nghịch biến trên khoảng
-
Tập xác định của hàm số \(y={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)\) là
-
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{6-x}+\sqrt{x-4}+\sqrt{\left( 6-x \right)\left( x-4 \right)}\) là \(M,m.\) Tính tổng \(M+m.\)
