Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo \(BD'\). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(O\) là trung điểm \(BD'.\)
Gọi \(E,F\) là tâm hình vuông \(ABB'A'\) và \(DCC'D'.\)
Giả sử thiết diện qua \(BD'\) và cắt \(AD\) trung điểm \(M\) của \(AD.\)
Trong \(\left( ADC'B' \right)\) gọi \(N=B'C'\cap OM\Rightarrow N\) là trung điểm \(B'C'.\)
\(\Rightarrow MN=AB'=BC'=\sqrt{2}.\)
Tứ giác \(BMD'N\) là hình thoi \(\left( MB=MD'=NB=ND'=\frac{\sqrt{5}}{2} \right).\)
\({{S}_{BMD'N}}=\frac{1}{2}MN.BD'=\frac{\sqrt{6}}{2}.\)
Ta chứng minh \(M\) là trung điểm của \(AD\) thì diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ nhất.
Lấy \(M'\) bất kỳ trên \(AD.\) Kẻ \(M'H\bot EF,M'K\bot BD'.\)
Tứ giác \(MM'HO\) là hình bình hành \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} M'H = MO\\ M'H//MO \end{array} \right..\)
Mà \(MO\bot \left( A'BCD' \right)\Rightarrow M'H\bot \left( A'BCD' \right).\)
\(\Delta M'HK\) vuông tại \(H\Rightarrow M'K\ge M'H=MO\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {S_{BM'D'N'}} = 2{S_{\Delta M'BD'}} = 2.\frac{1}{2}M'K.BD' = \sqrt 3 M'K\\ {S_{BMD'N}} = 2{S_{\Delta MBD}} = 2.\frac{1}{2}MO.BD' = \sqrt 3 MO \end{array} \right.\)
\(\Rightarrow {{S}_{BM'D'N'}}\ge {{S}_{BMD'N}}.\)
Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow M'\equiv M.\)