Cho một miếng tôn hình tròn tâm O, bán kính R. Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt OAB và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh O không có đáy (OA trùng với OB). Gọi S và S ' lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. Tìm tỉ số \(\frac{{S'}}{S}\) để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDiện tích hình tròn \(S = \pi {R^2}\)
Gọi bán kính đường tròn đáy hình nón là \(r\left( {0 < r < R} \right)\) ta có
\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \)
Xét hàm \(f\left( r \right) = {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \) có
\(f'\left( r \right) = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}.\frac{{ - r}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = \frac{{2r\left( {{R^2} - {r^2}} \right) - {r^3}}}{{\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = \frac{{r\left( {2{R^2} - 3{r^2}} \right)}}{{\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}\)
\(f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\,\left( {do\,0 < r < R} \right)\):
Bảng biến thiên:
.PNG)
Do đó thể tích V đạt GTLN tại \(r = \frac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\). Khi đó \(S' = {S_{xq}} = \pi rl = \pi .\frac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}.R = \frac{{\pi {R^2}\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)
Vậy \(\frac{{S'}}{S} = \frac{{\pi {R^2}\sqrt 2 }}{3}:\pi {R^2} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Thái Nguyên lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( {3;1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( P \right)\) sao cho \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = 9a + 3b + 6c\).
-
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 2}}\) trên đoạn [0;1]. Giá trị của \(M+2m\) bằng
-
Phương trình \(\log \left( {54 - {x^3}} \right) = 3\log x\) có nghiệm là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - z + 2 = 0\). Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ pháp tuyến của (P)?
-
Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy) đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(18\pi \,d{m^3}\). Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình.
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + 3m\left| x \right| - 5\) có ba điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên sau đây. Mệnh đề nào sau đây đúng?
.PNG)
-
Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình \({2^x}{.5^{{x^2} - 2x}} = 1\). Khi đó tổng \(x_1+x_2\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn [- 2;1] thỏa mãn \(f(0=1\) và \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2.\) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên đoạn [- 2;1] là:
-
Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn \(\left| z \right| - 2\overline z = - 7 + 3i + z\). Mô đun của số phức \({\rm{w}} = 1 - z + {z^2}\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 2f\left( x \right)} \right]}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
.png)
-
Trong không gian Oxyz cho điểm A(- 2;1;3). Hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox có tọa độ là
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x + 1} \right)^2}\). Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.png)
-
Số các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\) để hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right){x^2} - 2mx + 6m}}{{x - 1}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\)?
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^{2x}}\) là
-
Cho hai hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} + bx + c\left( {a,b,c \in R} \right)\) có đồ thị (C) và \(y = m{x^2} + nx + p\left( {m,n,p \in R} \right)\) có đồ thị (P) như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (P) có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?
.png)
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0\) là
-
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + y - 2az + 10a = 0\). Tập hợp các giá trị thực của a để (S) có chu vi đường tròn lớn bằng \(8\pi\) là
