Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( {3;1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( P \right)\) sao cho \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = 9a + 3b + 6c\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi I(x;y;z) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} \)
Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - x; - y;2 - z} \right);\overrightarrow {IB} = \left( {3 - x;1 - y; - 1 - z} \right)\)
Khi đó \(3\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - 3x = 6 - 2x\\
- 3y = 2 - 2y\\
6 - 3z = - 2 - 2z
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 3\\
y = - 2\\
z = 8
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 3; - 2;8} \right)\)
Ta có:
\(3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} = 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) - 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow {MI} + \left( {3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow {MI} \) (vì \(3\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \))
Khi đó \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI\) nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)
Phương trình đường thẳng d qua I(- 3;- 2;8) và vuông góc với (P) là \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = - 3 + t\\
y = - 2 + t\\
z = 8 + t
\end{array} \right.\)
Suy ra \(M = d \cap \left( P \right)\) nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = - 3 + t\\
y = - 2 + t\\
z = 8 + t\\
x + y + z - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 3 + t\\
y = - 2 + t\\
z = 8 + t\\
- 3 + t - 2 + t + 8 + t = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = - \frac{2}{3}\\
x = - \frac{{11}}{3}\\
y = - \frac{8}{3}\\
z = \frac{{22}}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{{11}}{3}; - \frac{8}{3};\frac{{22}}{3}} \right)\)
Từ đó \(a = - \frac{{11}}{3};b = - \frac{8}{3};c = \frac{{22}}{3} \Rightarrow S = 9a + 3b + 6c = - 33 - 8 + 44 = 3\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Thái Nguyên lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(z_1, z_2\) là hai số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 5 - 3i} \right| = 5\) đồng thời \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 8\). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w=z_1+z_2\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình
-
Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình \({2^x}{.5^{{x^2} - 2x}} = 1\). Khi đó tổng \(x_1+x_2\) bằng
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^{2x}}\) là
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác với \(AB = a,AC = 2a\) và \(BAC = {120^0},AA' = 2a\sqrt 5 \). Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
-
Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn \(\left| z \right| - 2\overline z = - 7 + 3i + z\). Mô đun của số phức \({\rm{w}} = 1 - z + {z^2}\) bằng
-
Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy) đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(18\pi \,d{m^3}\). Biết khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa khối cầu chìm trong nước. Tính thể tích nước còn lại trong bình.
-
Cho số phức \(z=10-2i\) . Phần thực và phần ảo của số phức \(\overline z \) là
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m\) có năm nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0;5]?
.png)
-
Xét các số thực dương x;y thỏa mãn \({\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = x + y\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 3 \). Tính thể tích hình chóp S.ABCD.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SBD=60^0\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SO.
-
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}\). Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):3x - z + 2 = 0\). Véc tơ nào dưới đây là một véc tơ pháp tuyến của (P)?
-
Cho cấp số cộng \((u_n)\), biết \({u_1} = - 5,d = 2\). Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 12 = 0\). Mặt phẳng nào sau đây cắt (S) theo một đường tròn có bán kính r = 3?
-
Trong mặt phẳng Oxyz, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức \({z_1} = - 3i;{z_2} = 2 - 2i;{z_3} = - 5 - i\). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó điểm G biểu diễn số phức là
-
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 2}}\) trên đoạn [0;1]. Giá trị của \(M+2m\) bằng
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x + 1} \right)^2}\). Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = 3\) và \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx = 2\) . Khi đó \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)} dx\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 2f\left( x \right)} \right]}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
.png)
