Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn [- 2;1] thỏa mãn \(f(0=1\) và \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2.\) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên đoạn [- 2;1] là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2 \Rightarrow \int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}.f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)dx} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}d\left( {f\left( x \right)} \right)} = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^3}}}{3} = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C\\
\Leftrightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^3} = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 3C
\end{array}\)
Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = 3C \Rightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^3} = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt[3]{{3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1}}\)
Xét hàm \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1}}\) trên [- 2;1]
Ta có
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{3}\left( {9{x^2} + 12x + 6} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}\)
\(\begin{array}{l}
= \left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}\\
= 3\left( {{x^2} + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} + \frac{2}{9}} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}\\
= 3\left[ {{{\left( {x + \frac{2}{3}} \right)}^2} + \frac{2}{9}} \right]\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}
\end{array}\)
Nhận thấy \('\left( x \right) > 0\,\forall x \in R \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên (- 2;1)
Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \sqrt[3]{{16}}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Thái Nguyên lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Khi quay một tam giác vuông (kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó) quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông ta được
-
Cho \(z_1, z_2\) là hai số phức thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 5 - 3i} \right| = 5\) đồng thời \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 8\). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w=z_1+z_2\) trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(2;0;- 1) và có một véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {4; - 6;2} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta\) là
-
Cho các số phức z thỏa mãn \(\left| {z + 1} \right| = 2\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \({\rm{w}} = \left( {1 + i\sqrt 8 } \right)z + i\) là một đường tròn. Bán kính r của đường tròn đó là
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) đi qua điểm A(2;- 2;5) và tiếp xúc với ba mặt phẳng \(\left( P \right):x = 1,\left( Q \right):y = - 1\) và \(\left( R \right):z = 1\) có bán kính bằng
-
Cho \(x,y > 0\) và thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - xy + 3 = 0\\
2x + 3y - 14 \le 0
\end{array} \right.\). Tính tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3{x^2}y - x{y^2} - 2{x^3} + 2x\)? -
Số các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\) để hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right){x^2} - 2mx + 6m}}{{x - 1}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\)?
-
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}\). Xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;0;2} \right),B\left( {3;1; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( P \right)\) sao cho \(\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(S = 9a + 3b + 6c\).
-
Xét các số thực dương x;y thỏa mãn \({\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = x + y\).
-
Cho một khối trụ có độ dài đường sinh bằng 10cm. Biết thể tích khối trụ bằng \(90\pi \left( {c{m^3}} \right)\). Diện tích xung quanh của khối trụ bằng
-
Trong không gian Oxyz cho điểm A(- 2;1;3). Hình chiếu vuông góc của A trên trục Ox có tọa độ là
-
Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x + 1} \right)^2}\). Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho số phức z có phần thực là số nguyên và z thỏa mãn \(\left| z \right| - 2\overline z = - 7 + 3i + z\). Mô đun của số phức \({\rm{w}} = 1 - z + {z^2}\) bằng
-
Với a và b là hai số thực dương tùy ý, \(\log \left( {{a^2}{b^3}} \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in R} \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{\left( {{x^2} + 4x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + x} }}{{x\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - 2f\left( x \right)} \right]}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
.png)
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.png)
-
Cho cấp số cộng \((u_n)\), biết \({u_1} = - 5,d = 2\). Số 81 là số hạng thứ bao nhiêu?
-
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + y - 2az + 10a = 0\). Tập hợp các giá trị thực của a để (S) có chu vi đường tròn lớn bằng \(8\pi\) là
-
Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình \({2^x}{.5^{{x^2} - 2x}} = 1\). Khi đó tổng \(x_1+x_2\) bằng
