Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn [- 2;1] thỏa mãn \(f(0=1\) và \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2.\) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên đoạn [- 2;1] là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2 \Rightarrow \int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}.f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)dx} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}d\left( {f\left( x \right)} \right)} = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^3}}}{3} = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C\\
\Leftrightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^3} = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 3C
\end{array}\)
Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = 3C \Rightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^3} = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt[3]{{3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1}}\)
Xét hàm \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1}}\) trên [- 2;1]
Ta có
\(f'\left( x \right) = \frac{1}{3}\left( {9{x^2} + 12x + 6} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}\)
\(\begin{array}{l}
= \left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}\\
= 3\left( {{x^2} + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} + \frac{2}{9}} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}\\
= 3\left[ {{{\left( {x + \frac{2}{3}} \right)}^2} + \frac{2}{9}} \right]\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}
\end{array}\)
Nhận thấy \('\left( x \right) > 0\,\forall x \in R \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên (- 2;1)
Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \sqrt[3]{{16}}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Thái Nguyên lần 2