Cho mặt cầu tâm O và tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên mặt cầu với góc \(\angle BAC = {30^0}\) và BA = a. Gọi S là điểm nằm trên mặt cầu, không thuộc mặt phẳng (ABC) và thỏa mãn SA = SB = SC, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng \(60^0\). Tính thể tích V của khối cầu tâm O theo a.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTheo đề bài ta có: SA = SB = SC suy ra hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(\Delta ABC \Rightarrow SI \bot (ABC).\)
\( \Rightarrow O \in SI\) hay S, I, O thẳng hàng.
.png)
Ta có: \(\angle \left( {SA;(ABC)} \right) = \angle (SA;AI) = \angle SAI = {60^0}\)
Kẻ \(OM \bot SA \Rightarrow \Delta SMO \sim \Delta SAI\left( {g - g} \right)\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{{SO}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SI}} \Rightarrow SO = \frac{{SM.SA}}{{SI}} = \frac{{S{A^2}}}{{2SI}} = \frac{{S{A^2}}}{{2\frac{{SA\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{3} = R.\\
\Rightarrow OI = SI - OI = \frac{{SA\sqrt 3 }}{2} - \frac{{SA\sqrt 3 }}{3} = \frac{{SA\sqrt 3 }}{6}\\
\Rightarrow IA = \sqrt {{R^2} - O{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{SA\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{SA\sqrt 3 }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{SA}}{2} = {R_{ABC}}
\end{array}\)
Với RABC là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác ABC ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{a}{{\sin {{30}^0}}} = 2{R_{ABC}} = 2a \Leftrightarrow {R_{ABC}} = a.\\
\Rightarrow IA = a \Rightarrow SA = 2{R_{ABC}} = 2a.\\
\Rightarrow R = \frac{{SA\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\\
\Rightarrow {V_{cau}} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)^3} = \frac{{32\sqrt 3 \pi {a^3}}}{{27}}.
\end{array}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường Chuyên Quốc học Huế lần 1
Câu hỏi liên quan
-
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {3^{{x^2} - 2x}}\)
-
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = 32.\) Tính tích phân \(J = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} \)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, có \(AB = a,AD = 2a,BC = a.\) Biết rằng \(SA = a\sqrt 2 .\) Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.
-
Tìm số hạng đầu u1 của cấp số nhân \((u_n)\) biết rằng \({u_1} + {u_2} + {u_3} = 168\) và \({u_4} + {u_5} + {u_6} = 21.\)
-
Gọi \(l, h, r\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của một hình nón. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón đó theo \(l, h, r\)
-
Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P, Q là các điểm thuộc các cạnh \(AA',BB',CC',B'C'\) thỏa mãn \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{1}{2},\frac{{BN}}{{BB'}} = \frac{1}{3},\frac{{CP}}{{CC'}} = \frac{1}{4},\frac{{C'Q}}{{C'B'}} = \frac{1}{5}.\) Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích khối tứ diện MNPQ và khối lăng trụ ABC.A'B'C'. Tính tỷ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
-
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - {x^2} + 3x}} < \frac{1}{4}\)
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
\(\frac{1}{3}\left| {{{\cos }^3}x} \right| - 3{\cos ^2}x + 5\left| {\cos x} \right| - 3 + 2m = 0\)
có đúng bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right].\)
-
Cho hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\) Biết rằng giá trị lớn nhất của \(F(x)\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là \(\sqrt 3 .\) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt {{x^2} + 4} - 2}}{{{x^2}}},khi\,\,\,x \ne 0\\
2a - \frac{5}{4}{\rm{ }},\,\,\,{\rm{ khi x = 0}}
\end{array} \right..\) Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số \(f(x)\) liên tục tại x = 0 -
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}.\)
-
Tìm nghiệmcuủa phương trình \({\sin ^4}x - {\cos ^4}x = 0.\)
-
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
.png)
-
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx\) đạt cực đại tại x = 0
-
Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 sao cho \({y^x}.{\left( {{e^x}} \right)^{{e^y}}} \ge {x^y}{\left( {{e^y}} \right)^{{e^x}}}.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _x}\sqrt {xy} + {\log _y}x\)
-
Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = x - \sqrt {4 - {x^2}} .\) Tính tổng M + m
-
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3 - 4x}}{{x - 2}}\) tại điểm có tung độ \(y = - \frac{7}{3}\)
-
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2{m^2} + 1\) (m là tham số). Xác định khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.
-
Cho khối nón có bán kính đáy r = 3, chiều cao \(h = \sqrt 2 .\) Tính thể tích V của khối nón.
-
Tính tổng T của các giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({e^x} + \left( {{m^2} - m} \right){e^{ - x}} = 2m\) có đúng hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn \(\frac{1}{{\log e}}.\)
