Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 sao cho \({y^x}.{\left( {{e^x}} \right)^{{e^y}}} \ge {x^y}{\left( {{e^y}} \right)^{{e^x}}}.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _x}\sqrt {xy} + {\log _y}x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}
{y^x}.{\left( {{e^x}} \right)^{{e^y}}} \ge {x^y}{\left( {{e^y}} \right)^{{e^x}}}\\
\Leftrightarrow x\ln y + {e^x}.x \ge y\ln x + {e^x}.y\\
\Leftrightarrow x\left( {{e^y} + \ln y} \right) \ge y\left( {{e^x} + \ln x} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{{e^y} + \ln y}}{y} \ge \frac{{{e^x} + \ln x}}{x}
\end{array}\)
Xét hàm số \(f(t) = \frac{{{e^t} + \ln t}}{t}\) với t > 1
Ta có \(\begin{array}{l}
f'(t) = \frac{{\left( {{e^x} + \frac{1}{t}} \right)t - {e^t} - \ln t}}{{{t^2}}}\\
= \frac{{{e^t}\left( {t - 1} \right) + \left( {1 - \ln t} \right)}}{{{t^2}}}
\end{array}\)
Xét tiếp \(\begin{array}{l}
g(t) = t.{e^t} - {e^t} + 1 - \ln t\\
g'(t) = {e^t} - t{e^t} - {e^t} + 1 - \frac{1}{t} > 0\,\,\forall t > 1
\end{array}\)
Suy ra \(g(t) > g(1) = 1\)
Suy ra f'(t)>0 với mọi t >1 suy ra hàm số \(f(t) = \frac{{{e^t} + \ln t}}{t}\) đồng biến trên \((1;+\infty)\).
Từ \( \frac{{{e^y} + \ln y}}{y} \ge \frac{{{e^x} + \ln x}}{x}\) suy ra \(y \ge x >1\)
Xét \(P = {\log _x}\sqrt {xy} + {\log _y}x = 0 \Leftrightarrow t = \pm \sqrt 2 \) do đó \(t \ge 1\) nhận nghiệm \(t = \sqrt 2\)
Vậy \(P_{min} =P(\sqrt 2)= \frac{{2 + 2\sqrt 2 }}{2}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường Chuyên Quốc học Huế lần 1
Câu hỏi liên quan
-
Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P, Q là các điểm thuộc các cạnh \(AA',BB',CC',B'C'\) thỏa mãn \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{1}{2},\frac{{BN}}{{BB'}} = \frac{1}{3},\frac{{CP}}{{CC'}} = \frac{1}{4},\frac{{C'Q}}{{C'B'}} = \frac{1}{5}.\) Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích khối tứ diện MNPQ và khối lăng trụ ABC.A'B'C'. Tính tỷ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\)
-
Hình bát diện đều thuộc loại khối đa diện đều nào sau đây?
-
Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn [-2019;2019] của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 3} }}{{{x^2} + x - m}}\) có đúng hai đường tiệm cận.
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{ - 4}}.\)
-
Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}.\)
-
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx} = 32.\) Tính tích phân \(J = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} \)
-
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R?
-
Cho mặt cầu tâm O và tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên mặt cầu với góc \(\angle BAC = {30^0}\) và BA = a. Gọi S là điểm nằm trên mặt cầu, không thuộc mặt phẳng (ABC) và thỏa mãn SA = SB = SC, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng \(60^0\). Tính thể tích V của khối cầu tâm O theo a.
-
Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc \(\angle IOM = {45^0}\) và cạnh IM = a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón tròn xoay. Tính diện tích xung quanh Sxq của hình nón tròn xoay đó theo a.
-
Cho tập hợp \(S = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}.\) Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau lấy từ S sao cho tổng chữ số các hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm lớn hơn tổng chữ số các hàng còn lại là 3. Tính tổng T của các phần tử của tập hợp M.
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây Sai?
.PNG)
-
Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {\frac{x}{2} + \frac{4}{x}} \right)^{18}}\) với \(x \ne 0\)
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng \(a\sqrt 2 .\) Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a.
-
Cho cấp số cộng \((u_n)\) với số hạng đầu \(u_1=-6\) và công sai d = 4. Tính tổng S của 14 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
-
Cho hàm số \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right).\) Biết rằng giá trị lớn nhất của \(F(x)\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) là \(\sqrt 3 .\) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
-
Tìm các giá trị cực đại của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1\)
-
Cho hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x - 2m}}\) với tham số \(m \ne 0.\) Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng có phương trình nào dưới đây?
-
Gọi \(F(x)\) là nguyên hàm trên R của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}{e^{ax}}\left( {a \ne 0} \right),\) sao cho \(F\left( {\frac{1}{a}} \right) = F(0) + 1.\) Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
-
Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lơn bằng 80cm, độ dài trục bé bằng 60cm. Tính thể tích V của trống (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
.png)
-
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {3^{{x^2} - 2x}}\)
