Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \(AB = 2a,AA' = a\sqrt 3 .\) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C' theo a?

Cho hàm số \(y = \frac{{mx + 1}}{{x - 2m}}\) với tham số \(m \ne 0.\) Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng có phương trình nào dưới đây?

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

                                    \(\frac{1}{3}\left| {{{\cos }^3}x} \right| - 3{\cos ^2}x + 5\left| {\cos x} \right| - 3 + 2m = 0\) 

có đúng bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right].\) 

Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 2{m^2} + 1\) (m là tham số). Xác định khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 sao cho \({y^x}.{\left( {{e^x}} \right)^{{e^y}}} \ge {x^y}{\left( {{e^y}} \right)^{{e^x}}}.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _x}\sqrt {xy}  + {\log _y}x\) 

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {3^{{x^2} - 2x}}\)

Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình \(\log _{\frac{1}{3}}^2x - {\log _3}x + 4 = 0.\) Tính T.

Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M, N, P, Q là các điểm thuộc các cạnh \(AA',BB',CC',B'C'\) thỏa mãn \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{1}{2},\frac{{BN}}{{BB'}} = \frac{1}{3},\frac{{CP}}{{CC'}} = \frac{1}{4},\frac{{C'Q}}{{C'B'}} = \frac{1}{5}.\) Gọi V₁, V₂ lần lượt là thể tích khối tứ diện MNPQ và khối lăng trụ ABC.A'B'C'. Tính tỷ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}.\) 

Gọi \(l, h, r\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của một hình nón. Tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón đó theo \(l, h, r\) 

Cho cấp số cộng \((u_n)\) với số hạng đầu \(u_1=-6\) và công sai d = 4. Tính tổng S của 14 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {\frac{x}{2} + \frac{4}{x}} \right)^{18}}\) với \(x \ne 0\) 

Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + mx\) đạt cực đại tại x = 0 

Cho tích phân \(\int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx}  = \frac{b}{c} + a\ln 2\) với a là số thực, b và c là các số nguyên dương, đồng thời \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức \(P = 2a + 3b + c\) 

Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường cong \(y =  - {x^3} + 12x\) và \(y =  - {x^2}\) 

Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như bên dưới. Mệnh đề nào dưới đây Sai?

Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm?

Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất P để hiệu số chấm trên các mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 2.

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx}  = 32.\) Tính tích phân \(J = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} \) 

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} - {3^x} + \frac{1}{x}.\) 

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng \(a\sqrt 2 .\) Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên theo a.