Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác vuông ABC vuông tại A, AC=a, \(\widehat{ACB}=60{}^\circ \). Đường thẳng \(B{C}'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {A}'{C}'CA \right)\) góc \(30{}^\circ \). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left| {{x}^{3}}-3x+m \right|\) trên đoạn \(\left[ 0;\ 3 \right]\) bằng 20.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt cầu có phương trình là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4\) và \({{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16\). Gọi M là điểm di động ở ngoài ba mặt cầu và \(X,\text{ }Y,\text{ }Z\) là các tiếp điểm của các tiếp tuyến vẽ từ M đến ba mặt cầu sao cho MX=MY=MZ. Khi đó tập hợp các điểm M là đường thẳng d cố định. Hỏi d vuông góc với mặt phẳng nào?

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{x-5}\) là đường thẳng

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = 1\) là

Đồ thị của hàm số \(y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-5\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)=4{{x}^{3}}+1\). Trong các khẳng định sau, khằng định nào đúng?

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \({\log _3}\left( {{3^x} + 2m} \right) = {\log _5}\left( {{3^x} - {m^2}} \right)\) có nghiệm?

Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 3 và đường cao bằng 4. Thể tích của khối lăng trụ đó bằng

Hàm số \(y =  - {x^4} + 2{x^2} + 1\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Đạo hàm của hàm số \(y = {3^x} + 1\) là:

Một câu lạc bộ có 25 thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và 1 thư kí là

Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{2}}=1\) và \({{u}_{3}}=3\). Giá trị của \({{u}_{4}}\) bằng

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 3x + \cos 4x\) là:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _3}\frac{{4x + 6}}{x} \le 0\) là

Nếu \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=-3\) và \(\int\limits_{2}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=4\) thì \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm \(M\left( 0;\,-1;\,2 \right)\), đường thẳng d: \(\frac{x+2}{3}=\frac{y-5}{-5}=\frac{z-2}{-1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\): 2x+z-2=0. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua M vuông góc với d và song song với \(\left( P \right)\).

Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z-2=0\) có bán kính bằng

Nghiệm của phương trình \({{3}^{2x-3}}-1=26\) là:

Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất  của hàm số \(y=1+x+\frac{4}{x}\) trên đoạn \(\left[ -3;-1 \right]\). Tích M.m bằng?

Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi \(m\in S\) có đúng một số phức thỏa mãn \(\left| z-m \right|=6\) và \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S.