Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt cầu có phương trình là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4\) và \({{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16\). Gọi M là điểm di động ở ngoài ba mặt cầu và \(X,\text{ }Y,\text{ }Z\) là các tiếp điểm của các tiếp tuyến vẽ từ M đến ba mặt cầu sao cho MX=MY=MZ. Khi đó tập hợp các điểm M là đường thẳng d cố định. Hỏi d vuông góc với mặt phẳng nào?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi tọa độ điểm M là \(\left( a;b;c \right)\).
Mặt cầu \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1\) có tâm \(O\left( 0;0;0 \right)\), bán kính \({{R}_{1}}=1\) và MX là tiếp tuyến với mặt cầu nên \(M{{X}^{2}}=M{{O}^{2}}-{{r}_{1}}^{2}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-1\).
Tương tự, ta có \(M{{Y}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}}-4\) và \(M{{Z}^{2}}={{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}}-16\).
Theo đề, MX=MY=MZ nên \(M{{X}^{2}}=M{{Y}^{2}}=M{{Z}^{2}}\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + {c^2} - 1 = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} - 4\\ {a^2} + {b^2} + {c^2} - 1 = {\left( {a + 4} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} - 16 \end{array} \right..\)
Rút gọn ta được \(\left\{ \begin{array}{l} 2a + b - 2c - 3 = 0\\ 4a - 3c + 5 = 0 \end{array} \right.\)
Từ đó, M thuộc đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha\right):2x+y-2z-3=0\) và \(\left( \beta\right):4x-3z+5=0\).
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha\right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta\right)}}} \right]=\left( -3;-2;-4 \right)\).
Do đó, d vuông góc với mặt phẳng \(\left( {{P}_{2}} \right):3x+2y+4z=2020.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Bùi Thị Xuân
Câu hỏi liên quan
-
Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 3 và đường cao bằng 4. Thể tích của khối lăng trụ đó bằng
-
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{x-5}\) là đường thẳng
-
Đồ thị của hàm số \(y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-5\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
-
Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước \(3;4;5\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B và \(SA\bot \left( ABC \right)\). Biết AB=a, \(SA=a\sqrt{3}\). Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng
-
Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=1+x+\frac{4}{x}\) trên đoạn \(\left[ -3;-1 \right]\). Tích M.m bằng?
-
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác vuông ABC vuông tại A, AC=a, \(\widehat{ACB}=60{}^\circ \). Đường thẳng \(B{C}'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {A}'{C}'CA \right)\) góc \(30{}^\circ \). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;1;2 \right)\) và \(B\left( 3;1;0 \right).\) Véctơ \(\overrightarrow{AB}\) có tọa độ là
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 3x + \cos 4x\) là:
-
Cho bất phương trình \(m{{.3}^{x+1}}+\left( 3m+2 \right).{{\left( 4-\sqrt{7} \right)}^{x}}+{{\left( 4+\sqrt{7} \right)}^{x}}>0\), với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -2021;2021 \right]\) để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x\in \left( -\infty ;0 \right]\).
-
Cho các số phức z và \(\text{w}\) thỏa mãn \(\left( 1+2i \right)\left| z \right|=\frac{z}{\text{w}}+2+3i\). Tìm giá trị lớn nhất của \(T=\left| \text{w}+2+3i \right|\).
-
Số phức liên hợp của số phức z = - 4 - i là:
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của BC (Tham khảo hình vẽ dưới).
.png)
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BD.
-
Công thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ, biết \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm x=1 và thỏa mãn \(\left[ f\left( x \right)+1 \right]\) và \(\left[ f\left( x \right)-1 \right]\) lần lượt chia hết cho \({{\left( x-1 \right)}^{2}}\) và \({{\left( x+1 \right)}^{2}}\). Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) lần lượt là diện tích như trong hình bên. Tính \(2{{S}_{2}}+8{{S}_{1}}\)
.PNG)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( 1;2;-1 \right),B\left( 2;1;1 \right);C\left( 0;1;2 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+2}{2}.\) Lập phương trình đường thẳng \(\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }\) đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và vuông góc với đường thẳng d.
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{2}}=1\) và \({{u}_{3}}=3\). Giá trị của \({{u}_{4}}\) bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\tan x.f\left( {{\cos }^{2}}x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{8}{\frac{f\left( \sqrt[3]{x} \right)}{x}\text{d}x}=6\). Tính \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}{\frac{f\left( {{x}^{2}} \right)}{x}\text{d}x}\)
-
Đạo hàm của hàm số \(y = {3^x} + 1\) là:
-
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
.PNG)
