Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt cầu có phương trình là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4\) và \({{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16\). Gọi M là điểm di động ở ngoài ba mặt cầu và \(X,\text{ }Y,\text{ }Z\) là các tiếp điểm của các tiếp tuyến vẽ từ M đến ba mặt cầu sao cho MX=MY=MZ. Khi đó tập hợp các điểm M là đường thẳng d cố định. Hỏi d vuông góc với mặt phẳng nào?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi tọa độ điểm M là \(\left( a;b;c \right)\).
Mặt cầu \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1\) có tâm \(O\left( 0;0;0 \right)\), bán kính \({{R}_{1}}=1\) và MX là tiếp tuyến với mặt cầu nên \(M{{X}^{2}}=M{{O}^{2}}-{{r}_{1}}^{2}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-1\).
Tương tự, ta có \(M{{Y}^{2}}={{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}+{{\left( c+2 \right)}^{2}}-4\) và \(M{{Z}^{2}}={{\left( a+4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}+{{\left( c-3 \right)}^{2}}-16\).
Theo đề, MX=MY=MZ nên \(M{{X}^{2}}=M{{Y}^{2}}=M{{Z}^{2}}\).
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + {c^2} - 1 = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} - 4\\ {a^2} + {b^2} + {c^2} - 1 = {\left( {a + 4} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} - 16 \end{array} \right..\)
Rút gọn ta được \(\left\{ \begin{array}{l} 2a + b - 2c - 3 = 0\\ 4a - 3c + 5 = 0 \end{array} \right.\)
Từ đó, M thuộc đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha\right):2x+y-2z-3=0\) và \(\left( \beta\right):4x-3z+5=0\).
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha\right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta\right)}}} \right]=\left( -3;-2;-4 \right)\).
Do đó, d vuông góc với mặt phẳng \(\left( {{P}_{2}} \right):3x+2y+4z=2020.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Bùi Thị Xuân
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( 1;2;-1 \right),B\left( 2;1;1 \right);C\left( 0;1;2 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+2}{2}.\) Lập phương trình đường thẳng \(\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }\) đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và vuông góc với đường thẳng d.
-
Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( 2;\,1;\,-3 \right)\), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):x+y+3z-2=0, \left( R \right):2x-y+z+1=0\) là
-
Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước \(3;4;5\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B và \(SA\bot \left( ABC \right)\). Biết AB=a, \(SA=a\sqrt{3}\). Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng
-
Một câu lạc bộ có 25 thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và 1 thư kí là
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ, biết \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm x=1 và thỏa mãn \(\left[ f\left( x \right)+1 \right]\) và \(\left[ f\left( x \right)-1 \right]\) lần lượt chia hết cho \({{\left( x-1 \right)}^{2}}\) và \({{\left( x+1 \right)}^{2}}\). Gọi \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) lần lượt là diện tích như trong hình bên. Tính \(2{{S}_{2}}+8{{S}_{1}}\)
.PNG)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( 1;2;-1 \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y-2z-8=0\)?
-
Số phức liên hợp của số phức z = - 4 - i là:
-
Công thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là
-
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác vuông ABC vuông tại A, AC=a, \(\widehat{ACB}=60{}^\circ \). Đường thẳng \(B{C}'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {A}'{C}'CA \right)\) góc \(30{}^\circ \). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
-
Một hộp chứa 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả. Xác suất để 3 quả được chọn có ít nhất 1 quả cầu xanh là
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _3}\frac{{4x + 6}}{x} \le 0\) là
-
Cho \({{\log }_{a}}b=2\). Tính \(P={{\log }_{a}}\left( a{{b}^{2}} \right)\).
-
Đạo hàm của hàm số \(y = {3^x} + 1\) là:
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 1;\,-2;\,-3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng x-y-2z+3=0 có phương trình là
-
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
.PNG)
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z-2=0\) có bán kính bằng
-
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \({\log _3}\left( {{3^x} + 2m} \right) = {\log _5}\left( {{3^x} - {m^2}} \right)\) có nghiệm?
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 3x + \cos 4x\) là:
-
Nghiệm của phương trình \({{3}^{2x-3}}-1=26\) là:
