Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi \(m\in S\) có đúng một số phức thỏa mãn \(\left| z-m \right|=6\) và \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(z\ne 4\)
Gọi \(z=x+iy\) với \(x,y\in \mathbb{R}, \left( x,y \right)\ne \left( 4;\,0 \right)\), ta có
\(\frac{z}{z-4}=\frac{x+iy}{x-4+iy}=\frac{\left( x+iy \right)\left( x-4-iy \right)}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}-4iy}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\)
là số thuần ảo khi \(x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)
Mà \(\left| z-m \right|=6\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=36\)
Ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - m} \right)^2} + {y^2} = 36\\ {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {4 - 2m} \right)x = 36 - {m^2}\\ {y^2} = 4 - {\left( {x - 2} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}}\\ {y^2} = 4 - {\left( {\frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2} \right)^2} \end{array} \right.\)
Ycbt \( \Leftrightarrow 4 - {\left( {\frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2 = 2\\ \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} = 4\\ \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} = 0 \end{array} \right.\)
Ta loại trường hợp \(\frac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}=4\) vì khi đó x=4 và y=0.
Suy ra \(m=\pm 6\)
Vậy tổng các giá trị của mlà 6-6=0.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Bùi Thị Xuân
Câu hỏi liên quan
-
Cho các số phức z và \(\text{w}\) thỏa mãn \(\left( 1+2i \right)\left| z \right|=\frac{z}{\text{w}}+2+3i\). Tìm giá trị lớn nhất của \(T=\left| \text{w}+2+3i \right|\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=4{{x}^{3}}+1\). Trong các khẳng định sau, khằng định nào đúng?
-
Số phức liên hợp của số phức z = - 4 - i là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.PNG)
Điểm cực đại của hàm số đã cho là:
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B và \(SA\bot \left( ABC \right)\). Biết AB=a, \(SA=a\sqrt{3}\). Khi đó góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của BC (Tham khảo hình vẽ dưới).
.png)
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BD.
-
Đạo hàm của hàm số \(y = {3^x} + 1\) là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( 1;2;-1 \right),B\left( 2;1;1 \right);C\left( 0;1;2 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+2}{2}.\) Lập phương trình đường thẳng \(\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }\) đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và vuông góc với đường thẳng d.
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1+2i\) và \({{z}_{2}}=3-4i\). Số phức \(2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}\) là số phức nào sau đây?
-
Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(B\left( 2;\,1;\,-3 \right)\), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):x+y+3z-2=0, \left( R \right):2x-y+z+1=0\) là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( 1;2;-1 \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y-2z-8=0\)?
-
Cho \({{\log }_{a}}b=2\). Tính \(P={{\log }_{a}}\left( a{{b}^{2}} \right)\).
-
Một hình nón có bán kính đáy r = 4cm và độ dài đường sinh l = 3cm. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
-
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình \({\log _3}\left( {{3^x} + 2m} \right) = {\log _5}\left( {{3^x} - {m^2}} \right)\) có nghiệm?
-
Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước \(3;4;5\) bằng
-
Biết \(I=\int\limits_{2}^{4}{\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x}\text{d}x} =a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5\), với a, b, c là các số nguyên. Khi đó P=2a+3b+4c thuộc khoảng nào sau đây?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt cầu có phương trình là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4\) và \({{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16\). Gọi M là điểm di động ở ngoài ba mặt cầu và \(X,\text{ }Y,\text{ }Z\) là các tiếp điểm của các tiếp tuyến vẽ từ M đến ba mặt cầu sao cho MX=MY=MZ. Khi đó tập hợp các điểm M là đường thẳng d cố định. Hỏi d vuông góc với mặt phẳng nào?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Nghiệm của phương trình \({{3}^{2x-3}}-1=26\) là:
-
Một câu lạc bộ có 25 thành viên. Số cách chọn một ban quản lí gồm 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch và 1 thư kí là
