Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi \(m\in S\) có đúng một số phức thỏa mãn \(\left| z-m \right|=6\) và \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập S.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(z\ne 4\)
Gọi \(z=x+iy\) với \(x,y\in \mathbb{R}, \left( x,y \right)\ne \left( 4;\,0 \right)\), ta có
\(\frac{z}{z-4}=\frac{x+iy}{x-4+iy}=\frac{\left( x+iy \right)\left( x-4-iy \right)}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}-4iy}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\)
là số thuần ảo khi \(x\left( x-4 \right)+{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=4\)
Mà \(\left| z-m \right|=6\Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=36\)
Ta được hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - m} \right)^2} + {y^2} = 36\\ {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {4 - 2m} \right)x = 36 - {m^2}\\ {y^2} = 4 - {\left( {x - 2} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}}\\ {y^2} = 4 - {\left( {\frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2} \right)^2} \end{array} \right.\)
Ycbt \( \Leftrightarrow 4 - {\left( {\frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2 = 2\\ \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} - 2 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} = 4\\ \frac{{36 - {m^2}}}{{4 - 2m}} = 0 \end{array} \right.\)
Ta loại trường hợp \(\frac{36-{{m}^{2}}}{4-2m}=4\) vì khi đó x=4 và y=0.
Suy ra \(m=\pm 6\)
Vậy tổng các giá trị của mlà 6-6=0.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Bùi Thị Xuân
Câu hỏi liên quan
-
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
.PNG)
-
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác vuông ABC vuông tại A, AC=a, \(\widehat{ACB}=60{}^\circ \). Đường thẳng \(B{C}'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {A}'{C}'CA \right)\) góc \(30{}^\circ \). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\tan x.f\left( {{\cos }^{2}}x \right)\text{d}x}=\int\limits_{1}^{8}{\frac{f\left( \sqrt[3]{x} \right)}{x}\text{d}x}=6\). Tính \(\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{2}}{\frac{f\left( {{x}^{2}} \right)}{x}\text{d}x}\)
-
Một khúc gỗ hình trụ có bán kính R bị cắt bởi một mặt phẳng không song song với đáy ta được thiết diện là một hình elip. Khoảng cách từ điểm A đến mặt đáy là \(12\ \text{cm}\) khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy là \(20\ \text{cm}\). Đặt khúc gỗ đó vào trong hình hộp chữ nhật cóchiều cao bằng \(20\ \text{cm}\) chứa đầy nước sao cho đường tròn đáy của khúc gỗ tiếp xúc với các cạnh đáy của hình hộp chữ nhật. Sau đó, người ta đo lượng nước còn lại trong hình hộp chữ nhật là 2 lít. Tính diện tích hình elip thiết diện ( làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư sau dấu phẩy và \(\pi \simeq 3,14\)).
.png)
-
Cho \({{\log }_{a}}b=2\). Tính \(P={{\log }_{a}}\left( a{{b}^{2}} \right)\).
-
Tích phân \(\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)dx} \) bằng
-
Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước \(3;4;5\) bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( 1;2;-1 \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y-2z-8=0\)?
-
Đạo hàm của hàm số \(y = {3^x} + 1\) là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt cầu có phương trình là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4\) và \({{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16\). Gọi M là điểm di động ở ngoài ba mặt cầu và \(X,\text{ }Y,\text{ }Z\) là các tiếp điểm của các tiếp tuyến vẽ từ M đến ba mặt cầu sao cho MX=MY=MZ. Khi đó tập hợp các điểm M là đường thẳng d cố định. Hỏi d vuông góc với mặt phẳng nào?
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 1;\,-2;\,-3 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng x-y-2z+3=0 có phương trình là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( 1;2;-1 \right),B\left( 2;1;1 \right);C\left( 0;1;2 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+2}{2}.\) Lập phương trình đường thẳng \(\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }\) đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và vuông góc với đường thẳng d.
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left| 2{{x}^{4}}-8{{x}^{3}}-16{{x}^{2}}+1-m \right|\) (m là tham số). Biết rằng khi m thay đổi thì số điểm cực trị của hàm số có thể là a hoặc b hoặc c. Giá trị a+b+c bằng
-
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left| {{x}^{3}}-3x+m \right|\) trên đoạn \(\left[ 0;\ 3 \right]\) bằng 20.
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1+2i\) và \({{z}_{2}}=3-4i\). Số phức \(2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}}\) là số phức nào sau đây?
-
Công thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là
-
Một hình nón có bán kính đáy r = 4cm và độ dài đường sinh l = 3cm. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.PNG)
Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
-
Cho bất phương trình \(m{{.3}^{x+1}}+\left( 3m+2 \right).{{\left( 4-\sqrt{7} \right)}^{x}}+{{\left( 4+\sqrt{7} \right)}^{x}}>0\), với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left[ -2021;2021 \right]\) để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x\in \left( -\infty ;0 \right]\).
-
Đồ thị của hàm số \(y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-5\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
