Cho hình lăng trụ ${ABC.A'B'C'}$ có $A{A}'=A{B}'=A{C}'$. Tam giác ${ABC}$ vuông cân tại ${A}$ có ${BC=2a}$. Khoảng cách từ ${A}'$ đến mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$ là $\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho?

Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau lập ra từ các chữ số $2$, $4$, $6$, $8$?

Cho số phức $z=1-2i$. Cho biết phần ảo của số phức $\overline{z}$?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$, cạnh $SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SC$, tính côsin góc $\varphi$ giữa đường thẳng $BM$ và mp $\left( ABC \right)$?

Trong không gian $Oxyz$, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}$?

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có mặt đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ có $AB=a,\,AC=a\sqrt{3},\,{A}'B=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AC$. Tính khoảng cách từ $M$ đến $\left( {A}'BC \right)$?

Cho HS $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Phương trình $f\left( x \right)=0$ có bao nhiêu nghiệm?

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha ):5x-7y-z+2=0$ nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ pháp tuyến?

Cho hàm số đa thức bậc ba như hình:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=f\left( f\left( x \right)+m \right)$ có đúng $6$ điểm cực trị?

Đồ thị của hàm số nào bên dưới có dạng như đường cong trong hình?

Cho hàm đa thức bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị như hình:

Khẳng định nào đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có pt $d:\,\left\{ \begin{align}   & x=-1+t \\   & y=2-3t \\   & z=t \\  \end{align} \right.$ và điểm $A\left( 2;\,3;\,1 \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $A$, vuông góc với đường thẳng $d$ có phương trình là?

Cho khối tứ diện $ABCD$ có thể tích $V$. Gọi $V'$ là thể tích của khối tám mặt có các đỉnh là trung điểm các cạnh của khối đa diện $ABCD$. Tính tỉ số giữa $\frac{V'}{V}$ bằng?

Tìm họ các nguyên hàm của hàm số sau $y={{e}^{x}}+2x$?

Cho HS $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình $2f\left( \sin x-\cos x \right)=m-1$ có hai nghiệm phân biệt trên khoảng $\left( -\frac{\pi }{4}\,;\,\frac{3\pi }{4} \right)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho biết hình chiếu vuông góc của điểm $M(3;-1;1)$ trên trục $Oz$ có tọa độ là?

Xét các số phức $\text{w}$, $z$ thỏa mãn $\left| \text{w}+i \right|=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ và $5w=\left( 2+i \right)\left( z-4 \right)$. Tìm GTLN của biểu thức $P=\left| z-2i \right|+\left| z-6-2i \right|$?

Trong không gian với hệ tọa độ $\text{O}xyz$, cho các điểm $A\left( 1;0;0 \right)$, $B\left( 0;2;0 \right)$,$C\left( 0;0;4 \right)$. Viết PTĐT $\Delta$ đi qua trực tâm $H$ của tam giác $\Delta ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$?

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để pt $x{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)={{\log }_{9}}\left[ 9{{\left( x+1 \right)}^{2m}} \right]$ có 2 nghiệm phân biệt?

Cho hàm bậc ba $f\left( x \right)$ có đồ thị hàm số như hình vẽ:

Biết hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{2}}={{x}_{1}}+2$ và $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=2$. Gọi ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ là diện tích của hai hình phẳng được cho trong hình vẽ bên. Tính tỉ số $\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$?

Cho số phức $z=-2+i$. Trong hình dưới đây, điểm biểu diễn số phức $\overline{z}$ là?