Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA=x,BC=y,AB=AC=SB=SC=1.\) Thể tích khối chóp \(S.ABC\) lớn nhất khi tổng \(x+y\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm \(BC,SA\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AI\\ BC \bot SI \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right).\)
Hai tam giác cân \(ABC,SBC\) bằng nhau nên \(IA=IS\) suy ra \(\Delta ISA\) cân tại \(I.\)
Trong \(\Delta SBI\) vuông tại \(I\) ta có \(SI=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{I}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}}.\)
Trong \(\Delta SAI\) cân tại \(I\) ta có \(IJ=\sqrt{S{{I}^{2}}-S{{J}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}-\frac{{{x}^{2}}}{4}}.\)
Khi đó thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V=\frac{1}{3}.BC.{{S}_{SAI}}=\frac{1}{6}.BC.SA.IJ=\frac{1}{6}xy\sqrt{1-\frac{{{y}^{2}}+{{x}^{4}}}{4}}\)
Ta có \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 2xy,\forall x,y\in \mathbb{R}\Rightarrow V\le \frac{1}{6}xy\sqrt{1-\frac{xy}{2}}\)
\(=\frac{1}{12}\sqrt{xy}.\sqrt{xy}.\sqrt{4-2xy}\le \frac{1}{12}{{\left( \frac{xy+xy+4-2xy}{3} \right)}^{\frac{3}{2}}}\le \frac{2\sqrt{3}}{27}\)
Dấy “=” xảy ra tại \(x=y=\frac{2}{\sqrt{3}}\) suy ra \(x+y=\frac{4}{\sqrt{3}}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Quế Võ 1 lần 2