Cho hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {m + 3} \right){x^2} + 3\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho qua điểm \(A\left( { - 1; - 1} \right)\) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\), một tiếp tuyến là \({\Delta _1}:\,\,y = - 1\) và tiếp tuyến thứ hai là \({\Delta _2}\) thỏa mãn: \({\Delta _2}\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại N đồng thời cắt \(\left( C \right)\) tại P (khác N) có hoành độ bằng 3.

A. Không tồn tại m thỏa mãn

B. \(m = 2\)

C. \(m = 0,\,\,m = - 2\)

D. \(m = - 2\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

TXĐ: \(D = R\), ta có \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 3} \right)x\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = \left( {3x_0^2 - 6\left( {m + 3} \right){x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3\left( {m + 3} \right)x_0^2 + 3\,\,\left( d \right)\).

Có một tiếp tuyến là \({\Delta _1}:\,\,y = - 1\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x_0^2 - 6\left( {m + 3} \right){x_0} = 0\\x_0^3 - 3\left( {m + 3} \right)x_0^2 + 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 2\left( {m + 3} \right)\end{array} \right.\\x_0^3 - 3\left( {m + 3} \right)x_0^2 + 3 = - 1\end{array} \right.\)

TH1: \({x_0} = 0 \Rightarrow 3 = - 1\) (vô nghiệm).

TH2: \({x_0} = 2\left( {m + 3} \right) \Rightarrow 8{\left( {m + 3} \right)^3} - 3\left( {m + 3} \right).4{\left( {m + 3} \right)^2} + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow - 4{\left( {m + 3} \right)^3} + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 3} \right)^3} = 1 \Leftrightarrow m + 3 = 1 \Leftrightarrow m = - 2\).

Thử lại khi \(m = - 2\), phương trình đường thẳng (d) trở thành \(y = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 3\,\,\left( d \right)\)

\(\begin{array}{l}A\left( { - 1; - 1} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow - 1 = \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( { - 1 - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + 3\\ \Leftrightarrow - 1 = - 3x_0^2 + 6{x_0} - 3x_0^3 + 6x_0^2 + x_0^3 - 3x_0^2 + 3\\ \Leftrightarrow 2x_0^3 - 6{x_0} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt, do đó từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số khi \(m = - 2\) (tm).

Vậy \(m = - 2\).

Chọn A.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài