Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x - 2}}\) có đồ thị (C). Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) (với \(x_0=1\)) là điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho \({S_{\Delta OIB}} = 8{S_{\Delta OIA}}\) (trong đó O là gốc tọa độ, I là giao điểm hai tiệm cận). Giá trị của \(S = {x_0} + 4{y_0}\) bằng

A. 8

B. 2

C. \(\frac{{17}}{4}\)

D. \(\frac{{23}}{4}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

\(y = \frac{{2x - 1}}{{2x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: \(y = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {2{x_0} - 2} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 2}}\)

Cho x = 1

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {2{x_0} - 2} \right)}^2}}}.\left( {1 - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 2}} = \frac{{ - 2\left( {1 - {x_0}} \right)}}{{{{\left( {2{x_0} - 2} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {2{x_0} - 1} \right)\left( {2{x_0} - 2} \right)}}{{{{\left( {2{x_0} - 2} \right)}^2}}}\\
= \frac{{4x_0^2 - 4{x_0}}}{{{{\left( {2{x_0} - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x_0}}}{{{x_0} - 1}} \Rightarrow A\left( {1;\frac{{{x_0}}}{{{x_0} - 1}}} \right)
\end{array}\)

Cho y = 1

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 1 = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {2{x_0} - 2} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} - 1}}{{2{x_0} - 2}}\\
\Leftrightarrow 2\left( {x - {x_0}} \right) = \left( {2{x_0} - 1} \right)\left( {2{x_0} - 2} \right) - {\left( {2{x_0} - 2} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 2\left( {x - {x_0}} \right) = 2{x_0} - 2 \Leftrightarrow x = 2{x_0} - 1\\
\Rightarrow B\left( {2{x_0} - 1;1} \right)
\end{array}\)

Đồ thị (C) có TCĐ là x = 1 và TCN là y = 1, giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1;1)

Ta có: \({S_{\Delta OIB}} = 8{S_{\Delta OIA}} \Leftrightarrow \frac{1}{2}d\left( {B;OI} \right).OI = 8.\frac{1}{2}d\left( {A;OI} \right).OI \Leftrightarrow d\left( {B;OI} \right) = 8d\left( {A;OI} \right)\left( * \right)\)

Phương trình đường thẳng OI là: \(y = x \Leftrightarrow x - y = 0\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {2{x_0} - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 8.\frac{{\left| {1 - \frac{{{x_0}}}{{{x_0} - 1}}} \right|}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left| {2{x_0} - 2} \right| = 8.\left| {\frac{{ - 1}}{{{x_0} - 1}}} \right| \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} - 1 = 2\\
{x_0} - 1 = - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 3\\
{x_0} = - 1\left( L \right)
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {y_0} = \frac{{2.3 - 1}}{{2.3 - 2}} = \frac{5}{4} \Rightarrow S = {x_0} + 4{y_0} = 8\).

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài