Cho hàm số\(y=f\left( x \right)\)xác định \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\) thoả mãn \({f}'\left( x \right)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}},f\left( -2 \right)=\frac{3}{2}\)và \(f\left( 2 \right)=2\ln 2-\frac{3}{2}\).Tính giá trị biểu thức \(f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)\) bằng.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn C
\( f\left( x \right) =\int{{{f}^{'}}\left( x \right)dx\\ =\int{\frac{x+1}{{{x}^{2}}}dx\\ =\int{\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}}}dx\\ =\ln \left| x \right|-\frac{1}{x}+C \)
\(\Rightarrow f\left( x \right)= \left\{ \begin{align} & \ln \left( x \right)-\frac{1}{x}+{{C}_{1}}khix>0 \\ & \ln \left( -x \right)-\frac{1}{x}+{{C}_{2}}khix<0 \\\end{align} \right. \\ \)
Do \(f\left( -2 \right)=\frac{3}{2}\)\( \Rightarrow \ln \left( -\left( -2 \right) \right)-\frac{1}{-2}+{{C}_{2}}=\frac{3}{2}\)\( \Rightarrow \ln 2+\frac{1}{2}+{{C}_{2}}=\frac{3}{2}\Rightarrow {{C}_{2}}=1-\ln 2\)
Do \(f\left( 2 \right)=2\ln 2-\frac{3}{2}\Rightarrow \ln \left( 2 \right)-\frac{1}{2}+{{C}_{1}}=2\ln 2-\frac{3}{2}\Rightarrow \ln 2-\frac{1}{2}+{{C}_{1}}=2\ln 2-\frac{3}{2}\Rightarrow {{C}_{1}}=\ln 2-1\)
Như vậy \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}& \ln \left( x \right)-\frac{1}{x}+\ln 2-1khix>0 \\& \ln \left( -x \right)-\frac{1}{x}+1-\ln 2khix<0 \\ \end{align} \right.\)
Vậy ta có
\(\begin{align} & f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)=\left[ \ln \left( -\left( -1 \right) \right)-\frac{1}{-1}+1-\ln 2 \right]+\left[ \ln \left( 4 \right)-\frac{1}{4}+\ln 2-1 \right] \\ & =0+1+1-\ln 2+2\ln 2-\frac{1}{4}+\ln 2-1=2\ln 2+\frac{3}{4}=\frac{8\ln 2+3}{4} \\ \end{align}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Gia Định
