Cho hai số phức ${{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}}$ thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}+2-i \right|+\left| {{z}_{1}}-4-7i \right|=6\sqrt{2}$ và $\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=1.$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-2}$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+2z-2022=0$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng ?

Cho hàm số$y=f\left( x \right)$xác định $R\backslash \left\{ 0 \right\}$ thoả mãn ${f}'\left( x \right)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}},f\left( -2 \right)=\frac{3}{2}$và $f\left( 2 \right)=2\ln 2-\frac{3}{2}$.Tính giá trị biểu thức $f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)$ bằng.

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ a;\,b \right]$. Diện tích $S$của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành, đường thẳng $x=a,x=b$được tính theo công thức

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a,\,\,SA\bot \left( ABC \right)$ và góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{60}^{0}}$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{4}}\left( 14-2x \right)\ge 0$

Cho $M$ là giao điểm của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại điểm $M$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( 1\,;\,2\,;\,-1 \right)$, đồng thời vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z+1=0$ có phương trình là

Cho khối trụ $\left( T \right)$ có bán kính đáy bằng $2$ và chiều cao bằng $4$. Thể tích khối trụ $\left( T \right)$ bằng

Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $8\pi$ và độ dài đường sinh là $4$. Tính bán kính đường tròn đáy của hình nón.

Cho lăng trụ đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa đường thẳng $A{B}'$ và mặt phẳng $(BC{B}'{C}')$ bằng ${{30}^{0}}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.

Cho hàm số $f(x)={{\ln }^{3}}x+6(m-1){{\ln }^{2}}x-3{{m}^{2}}\ln x+4$. Biết rằng đoạn [a, b] là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=|f(x)|$ đồng biến trên khoảng $(e,+\infty )$. Giá trị biểu thức $a+3b$ bẳng

Cho hàm số $y={{x}^{3}}+x+1$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ -1;2 \right]$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian, cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=2$,$AD=1$. Quay hình chữ nhật đó xung quanh cạnh $AB$, ta được một hình trụ. Diên tích xung quanh của hình trụ là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình

${{2023}^{\ln \left( 2{{x}^{2}}+4x+m \right)}}-{{2023}^{2\ln \left( 2x-1 \right)}}>0$ chứa đúng bốn số nguyên?

Cho số phức $z=1+i$. Môđun của số phức $w=\left( 1+3i \right)z$ là

Cho hình chóp $S.ABC$ có ${A}',\,\,{B}'$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,\,SB$. Mặt phẳng $\left( C{A}'{B}' \right)$ chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích lần lượt là ${{V}_{1}},\,\,{{V}_{2}}$ $\left( {{V}_{1}}>{{V}_{2}} \right)$. Tỉ số $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ gần với số nào nhất?

Với $a,b$ là các số thực dương bất kì, ${{\log }_{2}}\left( a{{b}^{3}} \right)$ bằng:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 2\,;\,4 \right]$ và thỏa mãn $f\left( 2 \right)=3$, $f\left( 4 \right)=2023$. Tính tích phân $I=\int\limits_{1}^{2}{{f}'\left( 2x \right)\text{d}x}$.

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{x-3}$?