Cho hàm số \(f(x)={{\ln }^{3}}x+6(m-1){{\ln }^{2}}x-3{{m}^{2}}\ln x+4\). Biết rằng đoạn [a, b] là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=|f(x)|\) đồng biến trên khoảng \((e,+\infty )\). Giá trị biểu thức \(a+3b\) bẳng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
Đặt \(t=\ln x\) là hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty )\) và \(x\in (e,+\infty )\to t\in (1;+\infty )\).
Xét hàm số \(g(t)={{t}^{3}}+6(m-1){{t}^{2}}-3{{m}^{2}}t+4\) trên khoảng \((1;+\infty )\).
Ta có: \({{g}^{\prime }}(t)=3{{t}^{2}}+12(m-1)t-3{{m}^{2}}\) và \(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(t)=+\infty \)
Hàm số \(y=|g(t)|\) đồng biến trên khoảng \((1;+\infty )\Leftrightarrow \)
\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{g}^{\prime }}(t)\ge 0,\forall t\in [1;+\infty )(1) \\ g(1)\ge 0 \\ \end{array} \right.\)
\(+(2)\Rightarrow -3{{m}^{2}}+6m-1\ge 0\)\( \Rightarrow \frac{3-\sqrt{6}}{3}\le m\le \frac{3+\sqrt{6}}{3}\)
\(+{{\Delta }_{{{g}^{\prime }}}}=36{{(m-1)}^{2}}+9{{m}^{2}}>0,\forall m\to {{g}^{\prime }}(t)\) luôn có 2 nghiệm \({{t}_{1}},{{t}_{2}}\)
\( \text{ (1) }\Rightarrow {{t}_{2}}=-2(m-1)+\sqrt{5{{m}^{2}}-8m+4}\le 1\\ \Leftrightarrow \sqrt{5{{m}^{2}}-8m+4}\le 2m-1 \\ \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2m-1\ge 0 \\ 5{{m}^{2}}-8m+4\le 4{{m}^{2}}-4m+1 \\ \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2m-1\ge 0 \\ {{m}^{2}}-4m+3\le 0 \\ \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m\ge \frac{1}{2} \\ 1\le m\le 3 \\ \end{array}\\ \Leftrightarrow 1\le m\le 3. \right.\)
Kết hơp (1) và (2) ta được \(m\in \left[ 1;\frac{3+\sqrt{6}}{3} \right]\)\( \Rightarrow a=1;b=\frac{3+\sqrt{6}}{3}\).
Vậy \(a+3b=4+\sqrt{6}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Gia Định
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-1\) và hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ:
Số nghiệm của phương trình \(f\left[ g\left( x \right) \right]=0\) là
-
Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng \(8\pi \) và độ dài đường sinh là \(4\). Tính bán kính đường tròn đáy của hình nón.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+x+1\). Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ -1;2 \right]\) bằng bao nhiêu?
-
Cho khối trụ \(\left( T \right)\) có bán kính đáy bằng \(2\) và chiều cao bằng \(4\). Thể tích khối trụ \(\left( T \right)\) bằng
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({{\log }_{\frac{1}{4}}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{4}}\left( 14-2x \right)\ge 0\)
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-y+z+7=0,\) đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{2}\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=5.\) Gọi \(A,\,\,B\) là hai điểm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) và \(AB=4;\) \({A}',\,\,{B}'\) là hai điểm nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(A{A}',\,\,B{B}'\) cùng song song với đường thẳng \(d.\) Giá trị lớn nhất của tổng \(A{A}'+\,B{B}'\) gần nhất với giá trị nào sau đây
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( -1;1;3 \right)\) và hai đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{1}\), \({\Delta }':\frac{x+1}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-2}\). Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \) và \({\Delta }'\).
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-mx+2023\) có hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( -4;3 \right)\)?
-
Tìm \(a\) để đồ thị hàm số \(y={{\log }_{a}}x\left( 0<a\ne 1 \right)\) có đồ thị là hình bên.
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y+2z-2022=0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh đáy bằng \(a\) cạnh bên bằng \(\frac{3a}{2}\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A}'BC \right)\)và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)bằng
-
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({{z}^{2}}-2\left( m+1 \right)z+{{m}^{2}}=0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({{z}_{0}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{0}} \right|=7?\)
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\ln \left( -{{x}^{2}}+4 \right)\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( 1\,;\,2\,;\,-1 \right)\), đồng thời vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z+1=0\) có phương trình là
-
Một túi đựng 5 bi xanh và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi, xác suất để cả hai bi đều màu đỏ là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), điểm \(M'\)đối xứng với điểm \(M\left( 2;\,2;\,-1 \right)\)qua mặt phẳng \(\left( Oyz \right)\) có tọa độ là
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+2-i \right|+\left| {{z}_{1}}-4-7i \right|=6\sqrt{2}\) và \(\left| i{{z}_{2}}-1+2i \right|=1.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\) bằng
-
Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh \(2a\) là
-
Số phức liên hợp của số phức \(1-3i\) là
