Cho hàm số f(x), f(-x) liên tục trên R và thỏa mãn \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \frac{1}{{4 + {x^2}}}\). Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} \)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = - x \Rightarrow dx = - dt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = - 2 \Rightarrow t = 2\\
x = 2 \Rightarrow t = - 2
\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = - \int\limits_2^{ - 2} {f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx} \)
Theo bài ra ta có: \(2f\left( x \right) + 3f\left( { - x} \right) = \frac{1}{{4 + {x^2}}} \Leftrightarrow 2\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} + 3\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( { - x} \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \)
\( \Leftrightarrow 3I + 2I = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \Leftrightarrow I = \frac{1}{5}\int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{dx}}{{4 + {x^2}}}} \)
Đặt x = 2tanu ta có: \(dx = 2\frac{1}{{{{\cos }^2}u}}du = 2\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = - 2 \Rightarrow u = \frac{{ - \pi }}{4}\\
x = 2 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}
\end{array} \right.\)
Khi đó ta có \(I = \frac{1}{5}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{2\left( {1 + {u^2}} \right)du}}{{4 + 4{{\tan }^2}u}}} = \frac{1}{{10}}\int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {du} = \left. {\frac{1}{{10}}u} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{1}{{10}}\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{\pi }{{20}}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = 2\). Tính \(\int\limits_1^4 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} \) bằng:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {1;0;1} \right),B\left( {3; - 2;0} \right),C\left( {1;2; - 2} \right)\) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến (P) lớn nhất biết rằng (P) không cắt đoạn BC. Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
-
Cho hàm số y = f(x) có y’ = f(x) liên tục trên [0; 2] và \(f\left( 2 \right) = 16;\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\) . Tính \(I = \int\limits_0^1 {xf'\left( {2x} \right)dx} \)
-
Cho hai tích phân \(\int\limits_{ - 2}^5 {f\left( x \right)dx} = 8\) và \(\int\limits_5^{ - 2} {g\left( x \right)dx} = 3\) . Tính \(I = \int\limits_{ - 2}^5 {\left[ {f\left( x \right) - 4g\left( x \right) - 1} \right]dx} \)?
-
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Tính thể tích khối tứ diện ABCB’C’.
-
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \). Tính xác suất để số được chọn luôn có mặt chữ số 2 và thỏa mãn \({a_1} < {a_2} < {a_3} < {a_4} > {a_5} > {a_6} > {a_7}\) .
-
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} - 4mx\) đồng biến trên đoạn [1;4]
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0; - 2; - 1} \right),B\left( { - 2; - 4;3} \right),C\left( {1;3; - 1} \right)\). Tìm điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh bên \(SA = a\sqrt 5 \). Khoảng cách giữa BD và SC là:
-
Một khối gỗ hình lập phương có thể tích V1. Một người thợ mộc muốn gọt giũa khối gỗ đó thành một khối trụ có thể tích là V2. Tính tỉ số lớn nhất \(k = \frac{{{V_2}}}{{{V_1}}}\)?
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để bất phương trình sau nghiệm đúng \(\forall x \in R:{\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {3 - \sqrt 7 } \right)^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0\) ?
-
Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 1} \right){\left( {{x^2} - 1} \right)^3},\forall x \in R\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)\) . Thể tích tứ diện OABC bằng:
-
Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số của tập \(X = \left\{ {1;3;5;8;9} \right\}\)
-
Tìm tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{2}{5}}}\left( {x - 4} \right) + 1 > 0\)
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện tích tam giác ABC bằng \(2\sqrt 3 \). Gọi M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA’, BB’, CC’, diện tích tam giác MNP bằng 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (MNP).
-
Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:
.png)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) - 1 = m có đúng 2 nghiệm.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2;m - 1;3} \right),\overrightarrow b = \left( {1;3; - 2n} \right)\) . Tìm m, n để các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng.
