Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
.jpg.png)
Số nghiệm của phương trình \(\frac{{{f}^{3}}\left( x \right)+3{{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)+2}{\sqrt{3f\left( x \right)+1}}=3f\left( x \right)+2\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDựa vào đồ thị ta nhận thấy \(3f\left( x \right)+1>0,\forall x\in \mathbb{R}.\)
Do đó \(\frac{{{f}^{3}}\left( x \right)+3{{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)+2}{\sqrt{3f\left( x \right)+1}}=3f\left( x \right)+2\)
\(\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)+3{{f}^{2}}\left( x \right)+3f\left( x \right)+1+f\left( x \right)+1=\sqrt{3f\left( x \right)+1}\left( 3f\left( x \right)+1+1 \right)\)
\(\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right)+1 \right]}^{3}}+\left[ f\left( x \right)+1 \right]={{\left[ \sqrt{3f\left( x \right)+1} \right]}^{3}}+\sqrt{3f\left( x \right)+1}\text{ }\left( 1 \right).\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{3}}+t\) với \(t\in \mathbb{R}.\)
Ta có \(f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}.\) Do đó \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Khi đó \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)+1=\sqrt{3f\left( x \right)+1}\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)+1=3f\left( x \right)+1.\)
\(\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)-f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & f\left( x \right)=0 \\ & f\left( x \right)=1 \\ \end{align} \right..\)
.jpg.png)
Dựa vào hình vẽ ta suy ra phương trình \(f\left( x \right)=0\) có 3 nghiệm và phương trình \(f\left( x \right)=1\) có 6 nghiệm (các nghiệm này không trùng các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=0).\)
Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Trưng Vương lần 4
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lập phương ABCD.MNPQ cạnh bằng A. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( CNQ \right).\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình sau:
.png)
Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=-3\) là
-
Có 60 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 thẻ chia hết cho 3.
-
Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a.
-
Cho a là số thực dương khác 1. Tính \(I={{\log }_{2}}\sqrt[3]{a}.\)
-
Tập xác định của hàm số \(y={{\log }_{3}}\left( x+1 \right)\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ -1;5 \right]\) có đồ thị của \(y=f'\left( x \right)\) được cho như hình bên dưới
.jpg.png)
Hàm số \(g\left( x \right)=-2f\left( x \right)+{{x}^{2}}-4x+4\) đồng biến trên khoảng
-
Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( 1;2;3 \right).\) Tìm tọa độ điểm \({{A}_{1}}\) là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng \(\left( Oyz \right).\)
-
Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\left( m+2 \right){{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+4m \right)x+5\) với m là tham số thực. Tập hợp các giá trị m để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 3;8 \right)\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right)=x{{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{4}},\forall x\in \mathbb{R}.\) Số điểm cực tiểu của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow{a}\) biểu diễn của các vectơ đơn vị là \(\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}.\) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là
-
Tính tổng S của các nghiệm của phương trình \({{\log }_{3}}x+{{\log }_{3}}\left( x-1 \right)+{{\log }_{\frac{1}{3}}}6=0\)
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{1}}=-2\) và \({{u}_{3}}=4.\) Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(y={{x}^{2}}+x\) là:
-
Công thức tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao h là
-
Cho hình trụ có bán kính đáy \(r=5\left( cm \right)\) và khoảng cách giữa hai đáy bằng \(7\left( cm \right).\) Diện tích xung quanh của hình trụ là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
.jpg.png)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{2020}^{x}}-{{2020}^{-x}}.\) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để phương trình \(f\left( {{\log }_{2}}x-m \right)+f\left( \log _{2}^{3}x \right)=0\) có nghiệm \(x\in \left( 1;16 \right)\
