Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết \(4f\left( x \right)-{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}={{x}^{2}}+2x, \forall x\in \mathbb{R}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDựa vào giả thiết ta xét \(f\left( x \right)\) là hàm bậc hai.
Giả sử \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c, x\in \mathbb{R}\).
\(\Rightarrow 4f\left( x \right)=4a{{x}^{2}}+4bx+4c\).
Có \({f}'\left( x \right)=2ax+b\Rightarrow {{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left( 2ax+b \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4abx+{{b}^{2}}\).
\(4f\left( x \right)-{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}=4a\left( 1-a \right){{x}^{2}}+4b\left( 1-a \right)x+4c-{{b}^{2}}\).
Theo giả thiết \(4f\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = {x^2} + 2x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a\left( {1 - a} \right) = 1\\ 4b\left( {1 - a} \right) = 2\\ 4c - {b^2} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2}\\ b = 1\\ c = \frac{1}{4} \end{array} \right.\)
Như vậy hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+\frac{1}{4}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có: \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+x+\frac{1}{4} \right)}\text{d}x=\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{6}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{1}{4}x \right) \right|_{0}^{1}=\frac{11}{12}\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tô Hiến Thành lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho 4 điểm \(A\left( -2;-1;3 \right), B\left( 2;3;1 \right), C\left( 1;2;3 \right), D\left( -4;1;3 \right)\). Hỏi có bao nhiêu điểm trong bốn điểm đã cho thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+3z-6=0\)?
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-3}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và ngang?
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\in \mathbb{Z}\) và phương trình \({{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2}\) có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAD \right)\) bằng
-
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
.jpg.png)
Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
Tính thể tích V của khối nón có chiều cao h=a và bán kính đáy \(r=a\sqrt{3}\).
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(3\log a+2\log b=1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3x+1\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị, đồ thị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là đường cong của hình vẽ bên. Xét hàm số \(h\left( x \right)=\frac{1}{2}{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}-2x.f\left( x \right)+2{{x}^{2}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
.jpg.png)
-
Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào?
.jpg.png)
-
Nếu \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x=2}\) thì \(\int\limits_{1}^{3}{3f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{2x-1}\) là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)={{\text{e}}^{2x+1}}\). Ta có \(f'\left( 0 \right)\) bằng
-
Giả sử \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai trong các số phức thỏa mãn \(\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)\) là số thực. Biết rằng \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4\), giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|\) bằng
-
Thể tích của khối trụ có chu vi đáy bằng \(4\pi a\) và độ dài đường cao bằng a là
-
S là tập tất cả các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình \({{4}^{x}}-m{{2}^{x}}-m+15>0\) có nghiệm đúng với mọi \(x\in \left[ 1;2 \right]\). Tính số phần tử của S.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?
.jpg.png)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+10y-6z+49=0\). Tính bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 1 + 2t\\ z = 5 - 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\) có véc tơ chỉ phương là
