Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết \(4f\left( x \right)-{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}={{x}^{2}}+2x, \forall x\in \mathbb{R}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDựa vào giả thiết ta xét \(f\left( x \right)\) là hàm bậc hai.
Giả sử \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c, x\in \mathbb{R}\).
\(\Rightarrow 4f\left( x \right)=4a{{x}^{2}}+4bx+4c\).
Có \({f}'\left( x \right)=2ax+b\Rightarrow {{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}={{\left( 2ax+b \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}{{x}^{2}}+4abx+{{b}^{2}}\).
\(4f\left( x \right)-{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}=4a\left( 1-a \right){{x}^{2}}+4b\left( 1-a \right)x+4c-{{b}^{2}}\).
Theo giả thiết \(4f\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = {x^2} + 2x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a\left( {1 - a} \right) = 1\\ 4b\left( {1 - a} \right) = 2\\ 4c - {b^2} = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2}\\ b = 1\\ c = \frac{1}{4} \end{array} \right.\)
Như vậy hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+\frac{1}{4}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có: \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{{{x}^{2}}}{2}+x+\frac{1}{4} \right)}\text{d}x=\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{6}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+\frac{1}{4}x \right) \right|_{0}^{1}=\frac{11}{12}\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tô Hiến Thành lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(3\log a+2\log b=1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{2x-1}\) là
-
Thể tích của khối trụ có chu vi đáy bằng \(4\pi a\) và độ dài đường cao bằng a là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 1 + 2t\\ z = 5 - 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\) có véc tơ chỉ phương là
-
Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết AB,AC,AD đôi một vuông góc và lần lượt có độ dài bằng 2,3,4.
-
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3x+1\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\) bằng
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\in \mathbb{Z}\) và phương trình \({{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2}\) có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;1) và hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t\\ y = 1\\ z = 2 - t \end{array} \right.\), \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t'\\ y = 3 + t'\\ z = 0 \end{array} \right.\). Phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2 là
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}\,=\,\,2\,-\,\,2\,i, {{z}_{2}}\,=\,\,-3\,+\,\,3\,i\). Khi đó \({{z}_{1}}\,-\,\,{{z}_{2}}\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
-
Biết đường thẳng y=3x+1 cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2{{x}^{2}}-2x+3}{x-1}\) tại hai điểm phân biệt A,B. Tính độ dài đoạn thẳng AB?
-
Tập hợp tất cả các số thực m để phương trình \({{\log }_{2}}x=m\) có nghiệm là
-
Thể tích V của khối hộp chữ nhật \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) biết \(AB=a,\,\,AD=2a,\,\,A{C}'=a\sqrt{14}\) là
-
Bồn hoa của một trường X có dạng hình tròn bán kính bằng 8m. Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông ABCD để trồng hoa. Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vuông đến đường tròn dùng để trồng cỏ. Ở bốn góc còn lại, mỗi góc trồng một cây cọ. Biết AB=4m, giá trồng hoa là 200.000đ/\({{m}^{2}}\), giá trồng cỏ là 100.000đ/\({{m}^{2}}\), mỗi cây cọ giá 150.000đ. Hỏi cần bao nhiêu tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa đó.
.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị, đồ thị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là đường cong của hình vẽ bên. Xét hàm số \(h\left( x \right)=\frac{1}{2}{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}-2x.f\left( x \right)+2{{x}^{2}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
.jpg.png)
-
Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào?
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?
.jpg.png)
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;1;1 \right)\) và \(I\left( 1;2;3 \right).\) Phương trình của mặt cầu tâm I và đi qua A là
-
Tìm các số thực \(x\,,\,y\) thỏa mãn \(x+2y+\left( 2x-2y \right)i=7-4i\).
-
Cho 4 điểm \(A\left( -2;-1;3 \right), B\left( 2;3;1 \right), C\left( 1;2;3 \right), D\left( -4;1;3 \right)\). Hỏi có bao nhiêu điểm trong bốn điểm đã cho thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+3z-6=0\)?
