Giả sử \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai trong các số phức thỏa mãn \(\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)\) là số thực. Biết rằng \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4\), giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.jpg.png)
Giả sử z=x+yi, \(x,y\in \mathbb{R}\).Gọi A,B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\). Suy ra \(AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4\).
* Ta có \(\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right) =\left[ \left( x-6 \right)+yi \right].\left[ \left( 8-y \right)-xi \right] =\left( 8x+6y-48 \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y \right)i\). Theo giả thiết \(\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)\) là số thực nên ta suy ra \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0\). Tức là các điểm A,B thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 3;4 \right)\), bán kính R=5.
* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa \(\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM}\)
Gọi H là trung điểm AB.
Ta có \(HA=HB=\frac{AB}{2}=2\) và \(MA=\frac{3}{4}AB=3 \Rightarrow HM=MA-HA=1\).
Từ đó \(H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=21, IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{22}\), suy ra điểm M thuộc đường tròn \(\left( {{C}'} \right)\) tâm \(I\left( 3;4 \right)\), bán kính \(r=\sqrt{22}\)
* Ta có \(\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=\left| 4\overrightarrow{OM} \right|=4OM\), do đó \(\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|\) nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
Ta có \(O{{M}_{\min }}=O{{M}_{0}}=\left| OI-r \right|=5-\sqrt{22}\)
Vậy \({{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=4O{{M}_{0}}=20-4\sqrt{22}\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tô Hiến Thành lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+10y-6z+49=0\). Tính bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 1 + 2t\\ z = 5 - 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\) có véc tơ chỉ phương là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao nhiêu điểm cực trị?
.jpg.png)
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y+z-7=0\) và đi qua hai điểm \(A\left( 1\,;\,2\,;\,1 \right), B\left( 2\,;\,5\,;\,3 \right)\). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng
-
Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{2}{{{2}^{2018x}}}\text{d}x\).
-
Tính thể tích V của khối lăng trụ có đáy là một lục giác đều cạnh a và chiều cao của khối lăng trụ 4a.
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAD \right)\) bằng
-
Nghiệm của phương trình \({{2}^{x}}=3\).
-
Đồ thị sau đây là đồ thị của hàm số nào?
.jpg.png)
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;1;1 \right)\) và \(I\left( 1;2;3 \right).\) Phương trình của mặt cầu tâm I và đi qua A là
-
Hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{1}}=2\) và \({{u}_{2}}=6\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
-
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.
.jpg.png)
Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị, đồ thị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là đường cong của hình vẽ bên. Xét hàm số \(h\left( x \right)=\frac{1}{2}{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}-2x.f\left( x \right)+2{{x}^{2}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
.jpg.png)
-
Tính thể tích của khối tứ diện ABCD, biết AB,AC,AD đôi một vuông góc và lần lượt có độ dài bằng 2,3,4.
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-3}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và ngang?
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\in \mathbb{Z}\) và phương trình \({{\log }_{mx-5}}\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)={{\log }_{\sqrt{mx-5}}}\sqrt{x+2}\) có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S.
-
Cho các số thực dương \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(3\log a+2\log b=1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Biết đường thẳng y=3x+1 cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2{{x}^{2}}-2x+3}{x-1}\) tại hai điểm phân biệt A,B. Tính độ dài đoạn thẳng AB?
