Cho hai số thực x, y thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) + {\log _2}\left[ {\left( {5 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} \right] = 2{\log _3}\frac{{5 + 4x - {x^2}}}{3} + {\log _2}{\left( {2y + 8} \right)^2}.\)
Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - m} \right|\) không vượt quá 10. Hỏi S có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: - 1 < x < 5, y khác 4. Ta có:
\(\begin{array}{l} {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) + {\log _2}\left[ {\left( {5 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} \right] = 2{\log _3}\frac{{5 + 4x - {x^2}}}{3} + {\log _2}{\left( {2y + 8} \right)^2}.\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) - 2{\log _3}\left( {5 + 4x - {x^2}} \right) = {\log _2}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) - {\log _2}\left( {5 + 4x - {x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_3}4 - 1} \right).{\log _2}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) = \left( {{{\log }_3}4 - 1} \right).{\log _2}\left( {5 + 4x - {x^2}} \right) \end{array}\)
\( \Leftrightarrow {y^2} + 8y + 16 = 5 + 4x - {x^2}\) (vì hàm \(f\left( t \right) = \left( {{{\log }_3}4 - 1} \right).{\log _2}t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{x^2} + {y^2} + 11} \right)^2} = {\left( {4x - 8y} \right)^2} \le 80\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Rightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 58\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 121 \le 0\\ \Rightarrow 29 - 12\sqrt 5 \le {x^2} + {y^2} \le 29 + 12\sqrt 5 \\ \Rightarrow \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } \le \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le \sqrt {29 + 12\sqrt 5 } \end{array}\).
Đặt \(a = \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } ,b = \sqrt {29 + 12\sqrt 5 } \) , ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} P = \max \left\{ {\left| {a - m} \right|,\left| {b - m} \right|} \right\}\).
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} P \le 10 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {a - m} \right| \le 10\\ \left| {b - m} \right| \le 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 10 \le m \le a + 10\\ b - 10 \le m \le b + 10 \end{array} \right. \Rightarrow b - 10 \le m \le a + 10\).
Vì \(m \in Z\) nên \(S = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}\).
Vậy số tập con không phải là tập rỗng của tập S là \({2^{14}} - 1 = 16383\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Viết Xuân
Câu hỏi liên quan
-
Một người vay ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất 1,2%/ tháng để mua xe ô tô. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì người đó bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 20 triệu đồng cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 20 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng? Biết rằng lãi suất không thay đổi.
-
Với a, b là các số thực dương tùy ý, \({\log _2}{a^2}{b^3}\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(\sqrt 2 a\), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2\sqrt 3 a\). Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng
-
Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số?
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt là
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4). Phương trình mặt phẳng (OAB) (O là gốc tọa độ) là
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên sau
.PNG)
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
-
Trong không gian Oxyz, hình chiếu của điểm M(2;-2;1) trên mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là
-
Cho cấp số cộng (un) với u1 = 2, công sai d = 3. Tính u5.
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Số nghiệm của phương trình f(x) + 1 = 0 là:
.PNG)
-
Nếu \(\int\limits_{ - 1}^3 {f(x)dx = - 4} \) và \(\int\limits_2^3 {f(x)dx = 3} \) thì \(\int\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx} \) bằng
-
Tính thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước \(a = 4,{\rm{ }}b = 5,{\rm{ }}c = 6\)
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \((S):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 5)^2} = 25\). Tìm tọa độ tâm của mặt cầu (S).
-
Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {x + 1} \) và trục Ox, quay quanh trục Ox. Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm, khi đó thể tích của lọ là :
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = m{x^4} + n{x^3} + p{x^2} + qx + r\), trong đó (m,n,p,q,r \in R\). Biết hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên dưới.
.png)
Số nghiệm của phương trình f(x) = 16m + 8n + 4p + 2q + r là
-
Để đồ thị hàm số \(y = - {x^4} - \left( {m - 3} \right){x^2} + m + 1\) có điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì tất cả các giá trị thực của tham số m là
-
Cho \({\log _2}5 = a;{\rm{ }}{\log _3}5 = b\). Tính \({\log _6}5\) theo a và b .
-
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \((d):\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}\)?
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
.PNG)
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho x, y thỏa mãn \({\log _3}\frac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 9} \right) + y\left( {y - 9} \right) + xy\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P = \frac{{3x + 2y - 9}}{{x + y + 10}}\) khi x, y thay đổi.
