Cho hai số thực x, y thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) + {\log _2}\left[ {\left( {5 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} \right] = 2{\log _3}\frac{{5 + 4x - {x^2}}}{3} + {\log _2}{\left( {2y + 8} \right)^2}.\)

Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - m} \right|\) không vượt quá 10. Hỏi S có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng?

A. 2047

B. 16383

C. 16384

D. 32

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

ĐK: - 1 < x < 5, y khác 4. Ta có:

\(\begin{array}{l} {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) + {\log _2}\left[ {\left( {5 - x} \right)\left( {1 + x} \right)} \right] = 2{\log _3}\frac{{5 + 4x - {x^2}}}{3} + {\log _2}{\left( {2y + 8} \right)^2}.\\ \Leftrightarrow 2{\log _3}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) - 2{\log _3}\left( {5 + 4x - {x^2}} \right) = {\log _2}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) - {\log _2}\left( {5 + 4x - {x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_3}4 - 1} \right).{\log _2}\left( {{y^2} + 8y + 16} \right) = \left( {{{\log }_3}4 - 1} \right).{\log _2}\left( {5 + 4x - {x^2}} \right) \end{array}\)

\( \Leftrightarrow {y^2} + 8y + 16 = 5 + 4x - {x^2}\) (vì hàm \(f\left( t \right) = \left( {{{\log }_3}4 - 1} \right).{\log _2}t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{x^2} + {y^2} + 11} \right)^2} = {\left( {4x - 8y} \right)^2} \le 80\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\\ \Rightarrow {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} - 58\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 121 \le 0\\ \Rightarrow 29 - 12\sqrt 5 \le {x^2} + {y^2} \le 29 + 12\sqrt 5 \\ \Rightarrow \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } \le \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le \sqrt {29 + 12\sqrt 5 } \end{array}\).

Đặt \(a = \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } ,b = \sqrt {29 + 12\sqrt 5 } \) , ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} P = \max \left\{ {\left| {a - m} \right|,\left| {b - m} \right|} \right\}\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} P \le 10 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left| {a - m} \right| \le 10\\ \left| {b - m} \right| \le 10 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 10 \le m \le a + 10\\ b - 10 \le m \le b + 10 \end{array} \right. \Rightarrow b - 10 \le m \le a + 10\).

Vì \(m \in Z\) nên \(S = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}\).

Vậy số tập con không phải là tập rỗng của tập S là \({2^{14}} - 1 = 16383\).

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài