Cho các số thực x, y thỏa mãn \({{2021}^{{{x}^{3}}+\frac{3}{2{{x}^{2}}}-\frac{3}{2}}}={{\log }_{\sqrt[2021]{2020}}}\left[ 2004-\left( y-11 \right)\sqrt{y+1} \right]\) với x > 0 và \(y\ge -1.\) Giá trị của biểu thức \(P=2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy+6\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({{2021}^{{{x}^{3}}+\frac{3}{2{{x}^{2}}}-\frac{3}{2}}}={{\log }_{\sqrt[2021]{2020}}}\left[ 2004-\left( y-11 \right)\sqrt{y+1} \right]\)
\(\Leftrightarrow {{2021}^{{{x}^{3}}+\frac{3}{2{{x}^{2}}}-\frac{3}{2}}}=2021{{\log }_{2020}}\left[ 2004-\left( y-11 \right)\sqrt{y+1} \right]\)
Ta có: \({{x}^{3}}+\frac{3}{2{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{3}}}{2}+\frac{{{x}^{3}}}{2}+\frac{1}{2{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}}+\frac{1}{2{{x}^{2}}}\overset{cauchy}{\mathop{\ge }}\,\frac{5}{2},\forall x>0\Rightarrow VT\ge {{2021}^{\frac{5}{2}-\frac{3}{2}}}=2021\text{ }\left( 1 \right)\)
Ta có: \(2004-\left( y-11 \right)\sqrt{y+1}=2004-{{\left( \sqrt{y+1} \right)}^{3}}+12\sqrt{y+1}\)
Đặt \(t=\sqrt{y+1}\Rightarrow t\ge 0.\)
\(f\left( t \right)=2004-{{t}^{3}}+12t\)
\(\Rightarrow f'\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+12\)
\(f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\pm 2.\)
.PNG)
Dựa vào BBT, ta có \(f\left( t \right)\le 2020,\) dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow t=2.\)
\(\Rightarrow VP\le 2021.{{\log }_{2020}}2020=2021.1=2021\text{ }\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\Rightarrow \) Dấu “=” xảy ra đồng thời ở \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{3}}}{2}=\frac{1}{2{{x}^{2}}} \\ & \sqrt{y+1}=2 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=3 \\ \end{align} \right.\Rightarrow P=11.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Thái Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho tam giác ABC vuông tại \(A,BC=4a,\widehat{ABC}={{60}^{0}}.\) Xét hai tia Bx, Cy cùng hướng và cùng vuông góc với \(\left( ABC \right)\). Trên Bx lấy điểm \({{B}_{1}}\) sao cho mặt cầu đường kính \(B{{B}_{1}}\) tiếp xúc với Cy. Trên tia Cy lấy điểm \({{C}_{1}}\) sao cho mặt cầu đường kính \(A{{C}_{1}}\) tiếp xúc với \({{B}_{x}}\). Thể tích khối đa diện \(ABC{{C}_{1}}{{B}_{1}}\) bằng.
-
Cho bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)+1\ge {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+m-3 \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi giá trị của x thuộc đoạn \(\left[ 0;6 \right]?\)
-
Số cách chọn một ban cán sự gồm lớp trưởng, một lớp phó và một bí thư từ một lớp học có 45 học sinh bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}x < {\log _2}\left( {12 - 3x} \right)\) là
-
Số mặt bên của một hình chóp ngũ giác là
-
Hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 4} \right)^{ - 3}}\) có tập xác định là
-
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.png)
-
Thể tích của khối cầu có đường kính 6 bằng
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.png)
-
Mỗi mặt của một khối đa diện đều loại {4;3} là
-
Với a, b là các số thực dương tùy ý và \(a \ne 1,{\log _a}{b^2}\) bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
-
Điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2\) là
-
Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1.\) Phương trình của đường thẳng AB là
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có \(AB = 2;AD = 4\sqrt 2 ;AA' = 2\sqrt 3 .\) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đã cho bằng
-
Hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 5;5} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {2{x^2} - 2x - m} - x - 1}}\) có hai đường tiệm cận đứng
-
Cho phương trình \({3^{1 + \frac{3}{x}}} - {3.3^{\frac{2}{x} - 2\sqrt x + 1}} + \left( {m + 2} \right){.3^{1 + \frac{1}{x} - 4\sqrt x }} - m{.3^{1 - 6\sqrt x }} = 0.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2020;2021] để phương trình có nghiệm?
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như đường cong trong hình vẽ bên.
.png)
Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( {\left| {3 - 2\sqrt {6x - 9{x^2}} } \right|} \right)\). Giá trị 3M - m bằng
-
Cho hình nón có độ dài đường sinh l = 6 và chiều cao h = 2. Bán kính đáy của hình nón đã cho bằng
