Cho bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)+1\ge {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+m-3 \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi giá trị của x thuộc đoạn \(\left[ 0;6 \right]?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)+1\ge {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+x+m-3 \right)\text{ }\forall x\in \left[ 0;6 \right]\)
\(\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-x+2 \right)3\ge \left( {{x}^{2}}+x+m-3 \right)>0,\text{ }\forall x\in \left[ 0;6 \right]\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+x+m-3>0 \\ & 2{{x}^{2}}-4x-m+9\ge 0 \\ \end{align} \right.,\text{ }\forall x\in \left[ 0;6 \right]\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>-{{x}^{2}}-x+3 \\ & m\le {{x}^{2}}-4x+9 \\ \end{align} \right.,\text{ }\forall x\in \left[ 0;6 \right]\text{ }\left( 1 \right)\)
Ta có \(-{{x}^{2}}-x+3\le 3,\text{ }\forall x\in \left[ 0;6 \right].\) Dấu “=” xảy ra khi x=0.
Suy ra \(\underset{\text{ }x\in \left[ 0;6 \right]}{\mathop{\max }}\,\left( -{{x}^{2}}-x+3 \right)=3.\)
Lại có \(2{{x}^{2}}-4x+9=2{{\left( x-1 \right)}^{2}}+7\ge 7,\text{ }\forall x\in \left[ 0;6 \right].\) Dấu “=” xảy ra khi x=1.
Suy ra \(\underset{\text{ }x\in \left[ 0;6 \right]}{\mathop{\min }}\,\left( 2{{x}^{2}}-4x+9 \right)=7.\)
Vậy \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m>3 \\ & m\le 7 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 3<m\le 7.\)
Vì \(m\in \mathbb{Z}\) nên ta được \(m\in \left\{ 4;5;6;7 \right\}\) (4 giá trị nguyên).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Thái Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _2}a + {\log _9}b = 4\) và \({\log _2}{a^3} + {\log _3}b = 11.\) Giá trị 28a - b - 2021 bằng
-
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O') bán kính đáy r = 3. Biết AB là một dây của đường tròn (O) sao cho tam giác O'AB là tam giác đều và (O'AB) tạo với mặt phẳng chứa hình tròn (O) một góc 60o. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
-
Với x > 0 đạo hàm của hàm số \(y = {\log _{2021}}x\) là
-
Thể tích của khối cầu có đường kính 6 bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}x < {\log _2}\left( {12 - 3x} \right)\) là
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số \(y = \left( {2m - 1} \right)x - \left( {3m + 2} \right)\cos x\) nghịch biến trên \(\left( {0;\pi } \right)?\)
-
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - {m^3},\) với m là tham số. Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng khi m thay đổi, điểm cực tiểu của đồ thị (C) luôn nằm trên đường thẳng cố định. Hệ số góc của đường thẳng d bằng
-
Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng a và độ dài đường cao bằng \(\frac{{\sqrt 3 a}}{3},\) góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình chóp bằng
-
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \(BC = 2a;BB' = a\sqrt 3 .\) Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x+3 \right).\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[ -10;20 \right]\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}+3x-m \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;2 \right)\)?
-
Nghiệm của phương trình \({2^{x - 1}} = 8\) là
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
-
Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho tam giác ABC vuông tại \(A,BC=4a,\widehat{ABC}={{60}^{0}}.\) Xét hai tia Bx, Cy cùng hướng và cùng vuông góc với \(\left( ABC \right)\). Trên Bx lấy điểm \({{B}_{1}}\) sao cho mặt cầu đường kính \(B{{B}_{1}}\) tiếp xúc với Cy. Trên tia Cy lấy điểm \({{C}_{1}}\) sao cho mặt cầu đường kính \(A{{C}_{1}}\) tiếp xúc với \({{B}_{x}}\). Thể tích khối đa diện \(ABC{{C}_{1}}{{B}_{1}}\) bằng.
-
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.png)
-
Mỗi mặt của một khối đa diện đều loại {4;3} là
-
Cho các số nguyên dương x, y, z đôi một nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn \(x{\log _{3200}}5 + y{\log _{3200}}2 = z.\) Giá trị biểu thức 29x - y - 2021z bằng
-
Điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 2\) là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD, các đường thẳng SA, AC và CD đôi một vuông góc với nhau \(SA=AC=CD=\sqrt{2}a\) và AD = 2BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD = 2BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng
-
Thể tích của khối bát diện đều cạnh 2a bằng
-
Hình vẽ nào sau đây là hình biểu diễn một hình đa diện?
.png)
