Cho a, b, c > 1. Biết rằng biểu thức $P = {\log _a}\left( {bc} \right) + {\log _b}\left( {ac} \right) + 4{\log _c}\left( {ab} \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi ${\log _b}c = n.$ Tính giá trị m + n.

Cho $x,y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ thỏa mãn $\cos 2x + \cos 2y + 2\sin \left( {x + y} \right) = 2.$ Tìm GTNN của

$P = \frac{{{{\sin }^4}x}}{y} + \frac{{{{\cos }^4}y}}{x}$ 

Trong kì thi THPT Quốc Gia, mỗi phòng thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp vào 24 bàn khác nhau. Bạn Nam là một thí sinh dự thi, bạn đăng kí 4 môn thi và cả 4 lần đều thi tại 1 phòng duy nhất. Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên, tính xác suất để trong 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi vào cùng 1 vị trí.

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m đồ thị (C) của hàm số $y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 5$ có ba cực trị, đồng thời ba điểm cực trị với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của S.

Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng

Tỉ lệ tăng dân số ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,05%. Theo số liệu của Tổng cục thống kê, dân số Việt Nam năm 2014 có 90.728.900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào năm 2030 thì dân số của Việt Nam là bao nhiêu?  

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, AA’ = 2a. M là trung điểm của B’C’. Khi đó khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM) là:

Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1$

Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 70cm. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là:

Trong khai triển ${\left( {{a^2} + \frac{1}{b}} \right)^7},$ số hạng thứ 5 là:

Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 6a, AC = 5a, AD = 4a. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DB. Thể tích V của tứ diện AMNP là:

Thể tích khối cầu có bán kính bằng $\frac{a}{2}$ là:

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao bằng h. Biết rằng hình trụ đó có diện tích toàn phần gấp ba diện tích xung quanh. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác đều có cạnh bằng a. Thể tích của khối nón là:

Trên sân bay có một máy bay cất cánh trên đường băng d (từ trái sang phải) và bắt đàu rời mặt đất tại điểm O. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt đất và cắt mặt đất theo giao tuyến là đường băng d của máy bay. Dọc theo đường băng d cách vị trị máy bay cất cánh O một khoảng 300(m) về phía bên phải có 1 người quan sát A. Biết máy bay chuyển động trong mặt phẳng (P) và độ cao y của máy bay xác định bởi phương trình y = x² (với x là độ dời của máy bay dọc theo đường thẳng d và tính từ O). Khoảng cách ngắn nhất từ người A (đứng cố định) đến máy bay là:

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log _2}x > {\log _2}\left( {2x + 1} \right)$ là:

Cho hàm số $y = {x^4} - \left( {3m + 4} \right){x^2} + {m^2}$ có đô thị là (C_m). Tìm m để đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ${\log _{16}}a = {\log _{25}}\frac{{2a - b}}{3}.$ Tính tỉ số $T = \frac{a}{b}.$ 

Tìm số nguyên dương n sao cho $C_{2n + 1}^1 - 2.2C_{2n + 1}^2 + {3.2^2}.C_{2n + 1}^2 - ... + \left( {2n + 1} \right){2^n}C_{2n + 1}^{2n + 1} = 2005.$

Kết luận nào là đúng về GTLN và GTNN của hàm số $y = \sqrt {x - {x^2}}$ ?

Tập xác định của hàm số $y = {\log _2}\left( {4 - {x^2}} \right)$ là tập hợp nào sau đây?