Cho a, b, c > 1. Biết rằng biểu thức \(P = {\log _a}\left( {bc} \right) + {\log _b}\left( {ac} \right) + 4{\log _c}\left( {ab} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi \({\log _b}c = n.\) Tính giá trị m + n.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo a, b, c > 1 nên \({\log _a}b,{\log _c}a,{\log _b}c > 0\)
\(\begin{array}{l}
P = \log {}_a(bc) + lo{g_b}(ac) + 4{\log _c}(ab) = lo{g_a}b + {\log _a}c + {\log _b}a + {\log _b}c + 4{\log _c}a + 4{\log _a}b\\
= \left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a} \right) + \left( {{{\log }_a}c + 4{{\log }_c}a} \right) + \left( {{{\log }_b}c + 4{{\log }_c}b} \right)\\
= \left( {{{\log }_a}b + \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{{\log }_c}a}} + 4{{\log }_c}a} \right) + \left( {{{\log }_b}c + \frac{4}{{{{\log }_b}c}}} \right)\\
\ge 2\sqrt {{{\log }_a}b.\frac{1}{{{{\log }_a}b}}} + 2\sqrt {\frac{1}{{{{\log }_c}a}}.4{{\log }_c}a} + 2\sqrt {{{\log }_b}c.\frac{4}{{{{\log }_b}c}}} = 2 + 4 + 4 = 10.
\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
{\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\\
\frac{1}{{{{\log }_c}a}} = 4{\log _c}a\\
{\log _b}c = \frac{4}{{{{\log }_c}b}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\log {}_ab = 1\\
{\log _c}a = \frac{1}{2}\\
\log {}_bc = 2
\end{array} \right.\)
Vậy, đạt giá trị nhỏ nhất là 10 khi \({\log _b}c = 2 \Rightarrow m = 10,n = 2 \Rightarrow m + n = 12\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh
Câu hỏi liên quan
-
Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m đồ thị (C) của hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 5\) có ba cực trị, đồng thời ba điểm cực trị với gốc tọa độ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của S.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {2^{2018}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018\) có đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3}.\) Tính giá trị biểu thức \(P = \frac{1}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{1}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} + \frac{1}{{f'\left( {{x_3}} \right)}}.\)
-
Số tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 2\) sao cho tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x - 29 là:
-
Giá trị của m để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x + 5\) đạt cực đại tại x = 0?
-
Số nghiệm của phương trình \({2^{2{x^2} - 7x + 5}} = 1\) là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, AB = a, \(\angle BAD = {60^0},SO \bot (ABCD)\) và mặt phẳng (SCD) tạo với đáy một góc 600 . Tính thế tích khối chóp S.ABCD.
-
Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\) có bảng biến thiên sau, tìm a và b:
.png)
-
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới đây. Chọn khẳng định đúng.
.png)
-
Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính \(F = {x^2} + {y^2} + {z^2}.\)
-
Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện SAMN.
-
Một sinh viên A mua máy tính xách tay theo hình thức trả góp với giá tiền 20 triệu đồng, mức lãi suất 1,2%/tháng trong năm đầu tiên, mỗi tháng anh A phải trả 80028 tháng. 28 tháng. ngàn đồng, cả gốc và lãi. Sau một năm lãi suất tăng lên là 1,5%/tháng và anh A phải trả 1 triệu đồng cả gốc và lãi mỗi tháng (trừ tháng cuối). Hỏi sau tối đa bao nhiêu tháng anh A trả hết nợ (tháng cuối trả không quá 500 ngàn đồng)
-
Tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = 3 - 2{\cos ^2}3x.\)
-
Tìm điểm M có hoành độ âm trên đồ thị \((C):y = \frac{1}{3}{x^3} - x + \frac{2}{3}\) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}.\)
-
Tìm số nguyên dương n sao cho \(C_{2n + 1}^1 - 2.2C_{2n + 1}^2 + {3.2^2}.C_{2n + 1}^2 - ... + \left( {2n + 1} \right){2^n}C_{2n + 1}^{2n + 1} = 2005.\)
-
Tỉ lệ tăng dân số ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,05%. Theo số liệu của Tổng cục thống kê, dân số Việt Nam năm 2014 có 90.728.900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế thì vào năm 2030 thì dân số của Việt Nam là bao nhiêu?
-
Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau, AB = 6a, AC = 5a, AD = 4a. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DB. Thể tích V của tứ diện AMNP là:
-
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{{x^2} - 1}}\) là:
-
Nếu một hình chóp đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 3 lần thì thể tích của nó tăng lên
-
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, AA’ = 2a. M là trung điểm của B’C’. Khi đó khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BM) là:
