Cho \(x,y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) thỏa mãn \(\cos 2x + \cos 2y + 2\sin \left( {x + y} \right) = 2.\) Tìm GTNN của
\(P = \frac{{{{\sin }^4}x}}{y} + \frac{{{{\cos }^4}y}}{x}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(P = \frac{{{{\sin }^4}x}}{y} + \frac{{{{\cos }^4}y}}{x} \ge \frac{{{{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}y} \right)}^2}}}{{x + y}} \ge \frac{1}{{x + y}}\) (1)
Ta có: \(\cos 2x + \cos 2y + 2\sin (x + y) = 2 \Leftrightarrow 2cos\left( {x + y} \right).\cos \left( {x - y} \right) + 2\sin \left( {x + y} \right) = 2\)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {x + y} \right).\cos \left( {x - y} \right) = 1 - \sin \left( {x + y} \right)\)
Mà \(1 - \sin \left( {x + y} \right) \ge 0,\forall x,y;\cos \left( {x - y} \right) > 0,\forall x,y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \cos \left( {x + y} \right) \ge 0\)
\( \Rightarrow 0 < x + y \le \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{1}{{x + y}} \ge \frac{2}{\pi }\) (2)
Từ (1), (2), suy ra: \(P \ge \frac{2}{\pi },\forall x,y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{{\sin }^2}x}}{y} = \frac{{{{\cos }^2}y}}{x}\\
{\sin ^2}x + {\cos ^2}y = 1\\
x + y = \frac{\pi }{2}
\end{array} \right. \Rightarrow x = y = \frac{\pi }{4}\)
Vậy \({P_{\min }} = \frac{2}{\pi }\) khi và chỉ khi \(x = y = \frac{\pi }{4}.\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(2\sqrt 2 ,\) cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua A và vuông góc với SC cắt các cạn SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.
-
Trên sân bay có một máy bay cất cánh trên đường băng d (từ trái sang phải) và bắt đàu rời mặt đất tại điểm O. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt đất và cắt mặt đất theo giao tuyến là đường băng d của máy bay. Dọc theo đường băng d cách vị trị máy bay cất cánh O một khoảng 300(m) về phía bên phải có 1 người quan sát A. Biết máy bay chuyển động trong mặt phẳng (P) và độ cao y của máy bay xác định bởi phương trình y = x2 (với x là độ dời của máy bay dọc theo đường thẳng d và tính từ O). Khoảng cách ngắn nhất từ người A (đứng cố định) đến máy bay là:
-
Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng
-
Trong kì thi THPT Quốc Gia, mỗi phòng thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp vào 24 bàn khác nhau. Bạn Nam là một thí sinh dự thi, bạn đăng kí 4 môn thi và cả 4 lần đều thi tại 1 phòng duy nhất. Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên, tính xác suất để trong 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi vào cùng 1 vị trí.
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {2^{2018}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018\) có đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3}.\) Tính giá trị biểu thức \(P = \frac{1}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{1}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} + \frac{1}{{f'\left( {{x_3}} \right)}}.\)
-
Một hồ bơi có dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 50m, chiều rộng 19m. Biết rằng trong hồ bơi có 1900000 lít nước. Độ sâu của hồ bơi lúc này là:
-
Cho hàm số \(y = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|.\) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right).\) Tìm số phân tử của S.
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}x > {\log _2}\left( {2x + 1} \right)\) là:
-
Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính \(F = {x^2} + {y^2} + {z^2}.\)
-
Một người thợ có một khối đá hình trụ. Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai đáy sao cho \(MN \bot PQ.\) Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm M, N, P, Q để thu được khối đá có hình tứ diện MNPQ. Biết rằng MN = 60 cm và thể tích khối tứ diện MNPQ bằng \(36d{m^3}.\) Tìm thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân).
-
Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Tính thể tích nhỏ nhất Vmin của khối tứ diện SAMN.
-
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
-
Cho x, y là hai số không âm thỏa mãn x + y = 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + {y^2} - x + 1\)
-
Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\) có bảng biến thiên sau, tìm a và b:
.png)
-
Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 70cm. Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là:
-
Nếu một hình chóp đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 3 lần thì thể tích của nó tăng lên
-
Thể tích khối cầu có bán kính bằng \(\frac{a}{2}\) là:
-
Trong khai triển \({\left( {{a^2} + \frac{1}{b}} \right)^7},\) số hạng thứ 5 là:
-
Tìm điểm M có hoành độ âm trên đồ thị \((C):y = \frac{1}{3}{x^3} - x + \frac{2}{3}\) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}.\)
-
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn \({\log _{16}}a = {\log _{25}}\frac{{2a - b}}{3}.\) Tính tỉ số \(T = \frac{a}{b}.\)
