Biết phương trình \({{\log }_{5}}\frac{2\sqrt{x}+1}{x}=2{{\log }_{3}}\left( \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\) có một nghiệm dạng \(x=a+b\sqrt{2}\) trong đó a,b là các số nguyên. Tính 2a + b.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐkXĐ: x > 1
Ta có
\(\begin{array}{l} {\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) \Leftrightarrow {\log _5}\frac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x + 1} \right) - {\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x - 1} \right) - 2{\log _3}\left( {2\sqrt x } \right)\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x + 1} \right) + 2{\log _3}\left( {2\sqrt x } \right) = {\log _5}x + 2{\log _3}\left( {x - 1} \right)\,\,\,\,(1) \end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{\log }_{5}}t+2{{\log }_{3}}\left( t-1 \right),t\in \left( 1;+\infty \right)\), có:\(f'\left( t \right)=\frac{1}{t.\ln 5}+\frac{2}{\left( t-1 \right).\ln 3}>0,\forall t\in (1;+\infty )\)
⇒ Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( 1;+\infty \right)\)
Khi đó, phương trình
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {2\sqrt x + 1} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow 2\sqrt x + 1 = x \Leftrightarrow x - 2\sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt x = 1 + \sqrt 2 }\\ {\sqrt x = 1 - \sqrt 2 < 0} \end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \sqrt x = 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow x = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2\sqrt 2 \Rightarrow a = 3,b = 2 = > 2a + b = 2.3 + 2 = 8\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, A’B tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng
-
Đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bố hàm số được liệt kê ở bốn phương án A,B,C,D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
.PNG)
-
Cho hàm số \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( a\ne 0 \right)\) có bảng biến thiên dưới đây:
.PNG)
Tính P = a -2b +3c
-
Tìm điểm cực đại \({{x}_{0}}\) của hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+1\)
-
Cho hình nón có chiều cao bằng 8cm, bán kính đáy bằng 6cm. Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng
-
Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{2x+3}\) có đồ thị (C). Đường thẳng d có phương trình y=ax+b là tiếp tuyến của (C), biết d cắt trục hoành tại A và cắt trục tung tại B sao cho tam giác OAB cân tại O, với O là gốc tọa độ. Tính a+b
-
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right){{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}\) tại điểm \(M\left( 2;9 \right)\) là
-
Cho hình chóp S.ABC có SA =2a, SB = 3a, SC = 4a và ASB = BSC = 600, ASC = 900. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
-
Giải phương trình \({{\log }_{3}}\left( x-1 \right)=2\)
-
Phương trình \(\left( {{2}^{x}}-5 \right)\left( {{\log }_{2}}x-3 \right)=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) (với \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\). Tính giá trị của biểu thức \(K={{x}_{1}}+3{{x}_{2}}\)
-
Cho a>0 và \(a\ne 1\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
-
Sau một tháng thi công dãy phòng học của Trường X, công ty xây dựng đã thực hiện được một khối lượng công việc. Nếu tiếp tục với tiến độ như vậy thì dự kiến sau đúng 25 tháng nữa công trình sẽ hoàn thành. Để kịp thời đưa công trình vào sử dụng, công ty xây dựng quyết định từ tháng thứ 2 , mỗi tháng tăng 5% khối lượng công việc so với tháng kề trước. Hỏi công trình sẽ hoàn thành ở tháng thứ mấy sau khi khởi công?
-
Gọi R,l,h lần lượt là bán kính đáy, độ dài đường sinh, chiều cao của hình nón (N). Diện tích xung quanh \({{S}_{xq}}\) của hình nón là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{x-{{m}^{2}}}{x+8}\) với m là tham số thực. Giả sử \({{m}_{0}}\) là giá trị dương của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng -3. Giá trị \({{m}_{0}}\) thuộc khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây?
-
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng 72 cm3. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BB’. Tính thể tích khối tứ diện ABCM.
-
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích bằng \({{a}^{3}}\) và đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính \(cos\alpha \) với \(\alpha \) là góc giữa mặt bên và mặt đáy
-
Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
-
Một cái cốc hình trụ có bán kính đáy là 2cm , chiều cao 20cm . Trong cốc đang có một ít nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12cm (Hình vẽ). Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá 6cm . Con quạ thông minh mổ những viên bi đá hình cầu có bán kính 0,6cm thả vào cốc nước để mực nước dâng lên. Để uống được nước thì con quạ cần thả vào cốc ít nhất bao nhiêu viên bi?
.png)
-
Biết rằng hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+28\) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ 0;4 \right]\) tại \({{x}_{0}}\).Tính \(P={{x}_{0}}+2018\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho phương trình \(f\left( x \right)=m\) có đúng hai nghiệm.
