Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z + 1 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Hình chiếu vuông góc của d trên \(\left( P \right)\) có phương trình là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \bot \overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;1; - 1} \right)\\\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1; - 1;1} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_d}} ;\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {0; - 2; - 2} \right)\)
Mà \(I\left( {0;0; - 1} \right) \in d \Rightarrow I\left( {0;0; - 1} \right) \in \left( Q \right)\)
Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(y + z + 1 = 0\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y + z + 1 = 0\\x - y + z + 1 = 0\end{array} \right.\)
+) Cho \(x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + z = - 1\\ - y + z = - 1\end{array} \right. \\\Rightarrow A\left( {0;0; - 1} \right)\)
+) Cho \(z = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\x - y = - 1\end{array} \right. \\\Rightarrow B\left( { - 2; - 1;0} \right)\)
Phương trình hình chiếu của d trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0;0; - 1} \right);B\left( { - 2; - 1;0} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {BA} = \left( {2;1; - 1} \right)\)
Có phương trình là \(\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\)