Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4{\rm{x}} - 2y + 2{\rm{z}} - 19 = 0\) và mp \(\left( P \right):2y - y - 2{\rm{z}} + m + 3 = 0\) với m là tham số. Gọi T là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng \(6\pi \). Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc T bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiMặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z - 19 = 0\) có tâm \(I\left( {2;1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 5\)
Ta có mặt phẳng (P): \(2x - y - 2z + m + 3 = 0\)
\( \Rightarrow {d_{I;\left( P \right)}} = \frac{{\left| {2.2 - 1 - 2\left( { - 1} \right) + m + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {m + 8} \right|}}{3}\)
Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng \(6\pi \).
\( \Rightarrow 2\pi r = 6\pi \Rightarrow r = 3\)
Ta có \({R^2} = d_{I;\left( P \right)}^2 + {r^2} \Rightarrow {5^2} = \frac{{{{\left( {m + 8} \right)}^2}}}{9} + {3^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{{\left( {m + 8} \right)}^2}}}{9} = {4^2}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{m + 8}}{9} = 4\\\frac{{m + 8}}{9} = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 28\\m = - 44\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow T = - 16\)
Chọn D.
Đề thi giữa HK2 môn Toán 12 năm 2023-2024
Trường THPT Võ Văn Kiệt
