Tìm hàm số F(x) biết rằng $F'(x) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ và đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm $M\left( {\dfrac{\pi }{6};0} \right)$.

Cho f(x) là hàm liên tục trên (a ; b) và không phải là hàm hằng. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x). Lựa chọn phương án đúng:

Biết $\int\limits_1^4 {f(t)\,dt = 3,\,\,\int\limits_1^2 {f(t)\,dt = 3} }$. Phát biểu nào sau đây nhân giá trị đúng ?

Cho điểm $I\left( {1;1; - 2} \right)$ đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$có tâm I và cắt đường thẳng d  tại hai điểm A, B sao cho $\widehat {IAB} = {30^o}$ là:

Đặt $I = \int\limits_1^e {\ln x\,dx}$. Lựa chọn phương án đúng :

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng qua $G\left( {1;2;3} \right)$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ (khác gốc $O$) sao cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Khi đó mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ có phương trình:

Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.\cos \left( {a - x} \right)\,dx}$.

Cho điểm $I\left( {1;1; - 2} \right)$ đường thẳng $d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}.$ Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

Xét hàm số f(x) có $\int {f(x)\,dx = F(x) + C}$. Với a, b là các số thực và $a \ne 0$, khẳng định nào sau đây luôn đúng ?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;3).$ Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa trục $Oy$ và cách $M$ một khoảng lớn nhất. Phương trình của $(\alpha )$ là:

Cho $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right){e^x}\,dx}$. Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = 2x + 1\\dv = {e^x}\,dx\end{array} \right.$. Chọn khẳng định đúng .

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có các đỉnh $A\left( {1;2;1} \right)$, $B\left( { - 2;1;3} \right)$, $C\left( {2; - 1;3} \right)$ và $D\left( {0;3;1} \right)$. Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua $A,B$ đồng thời cách đều $C,D$

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$,cho hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$lần lượt có phương trình ${d_1}:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{3}$, ${d_2}:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{4}$. Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ cách đều hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ là:

Biến đổi $\int\limits_0^3 {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}\,dx}$ thành $\int\limits_1^2 {f(t)\,dt\,,\,\,t = \sqrt {x + 1} } .$ Khi đó f(t) là hàm nào trong các hàm số sau ?

Cho tích phân $I = \int\limits_a^b {f(x).g'(x)\,dx}$ , nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f(x)\\dv = g'(x)\,dx\end{array} \right.$ thì:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = {2^{2x}}{.3^x}{.7^x}$.

Một vật chuyển động với vận tốc $v(t) = 1,2 + \dfrac{{{t^2} + 4}}{{1 + 3}}\,\,\,(m/s)$. Quãng đường vật đi được sau 4s  xấp xỉ bằng :

Cho hai hàm số $f(x) = {x^2},\,\,g(x) = {x^3}$. Chọn mệnh đề đúng :

Tính nguyên hàm $\int {\dfrac{{2{x^2} - 7x + 7}}{{x - 2}}\,dx}$ ta được:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{{\cos 2x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}$ là:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, gọi $\left( \alpha  \right)$là mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left( \beta  \right):2x - 4y + 4z + 3 = 0$ và cách điểm $A\left( {2; - 3;4} \right)$ một khoảng $k = 3$. Phương trình của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là: