Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm N(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{2{x^2} - 7x + 7}}{{x - 2}}\,dx} \) ta được:

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^{2x}}{.3^x}{.7^x}\).

Biến đổi \(\int\limits_0^3 {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}\,dx} \) thành \(\int\limits_1^2 {f(t)\,dt\,,\,\,t = \sqrt {x + 1} } .\) Khi đó f(t) là hàm nào trong các hàm số sau ?

Chọn phương án đúng.

Cho f(x) là hàm liên tục trên (a ; b) và không phải là hàm hằng. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x). Lựa chọn phương án đúng:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt x  - x\) và trục hoành.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\), điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là hình tròn (C) có diện tích nhỏ nhất ?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2}}}{4}\) trong miền \(x \ge 0,y \le 1\) là \(\dfrac{a}{b}\). Khi đó b – a bằng:

Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{\cos 2x}}{{{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x}}\) là:

Tính tích phân \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\cot x\,dx} \) ta được kết quả là :

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), gọi \((P)\)là mặt phẳng song song với mặt phẳng \(Oxz\) và cắt mặt cầu \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {z^2} = 12\)theo đường tròn có chu vi lớn nhất. Phương trình của \((P)\) là:

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}\).

Tìm \(I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}\,dx} \).

Tính nguyên hàm \(\int {{3^{{x^2}}}x\,dx} \) ta được:

Cho các điểm \(I\left( {1;1; - 2} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 3 + 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\). Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\)có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

Phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {3;\sqrt 3 ; - 7} \right)\) và tiếp xúc trục tung là:

Tìm hàm số F(x) biết rằng \(F'(x) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) và đồ thị của hàm số F(x) đi qua điểm \(M\left( {\dfrac{\pi }{6};0} \right)\).

Xét hàm số f(x) có \(\int {f(x)\,dx = F(x) + C} \). Với a, b là các số thực và \(a \ne 0\), khẳng định nào sau đây luôn đúng ?

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x.\cos \left( {a - x} \right)\,dx} \).

Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là\(\left( {1;1;1} \right),\,\left( {2;3;4} \right),\,\left( {7;7;5} \right)\). Diện tích của hình bình hành đó bằng