Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(BA = BC = a.\) Cạnh bên \(SA = 2a\) và vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp\(S.ABC\) là :
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(D\) và \(E\) lần lượt là trung điểm của \(AC,SC\).
Ta có \(DE//SA \Rightarrow DE \bot \left( {ABC} \right)\) mà \(D\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên \(ED\) là trục đường trong ngoại tiếp đáy. Do đó: \(EA = EB = EC\)
Lại có tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có \(E\) là trung điểm cạnh huyền nên \(EA = ES = EC = \dfrac{{SC}}{2}\)
Suy ra \(EA = ES = EC = EB = \dfrac{{SC}}{2}\) hay \(E\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) và bán kính mặt cầu là \(\dfrac{{SC}}{2}\)
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) ta có: \(AC = \sqrt {B{C^2} + B{A^2}} = a\sqrt 2 \)
Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) ta có: \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 6 \)
Bán kính mặt cầu cần tìm là: \(R = \dfrac{{SC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)
Chọn D