Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz , cho điểm A(1;1;1) và đường thẳng d:\(\left\{\begin{array}{l} x=6-4 t \\ y=-2-t \\ z=-1+2 t \end{array}\right.\)

Hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d có tọa độ là:

Nhà của ba bạn A,B,C nằm ở ba vị trí tạo thành một tam giác vuông tại B như hình vẽ, biết AB =10 kmkmBC =25km,  và ba bạn tổ chức họp mặt tại nhà bạn C. Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí M trên đoạn đường BC. Giả sử luôn có xe buýt đi thẳng từ A đến M. Từ nhà bạn A đi xe buýt thẳng đến điểm hẹn M với tốc độ 30km/h và từ M hai bạn A,B di chuyển đến nhà bạn C theo đoạn đường MC bằng xe máy với vận tốc 50km/h . Hỏi 5MB+3MC bằng bao nhiêu km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất?

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng \(d: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}\)  và vuông góc với mặt phẳng \((Q): 2 x+y-z=0\).

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;2;3} \right),\,\,B\left( {1;2;0} \right)\) và \(M\left( { – 1;3;4} \right)\). Gọi d là đường thẳng qua B vuông góc với AB đồng thời cách M một khoảng nhỏ nhất. Một véc tơ chỉ phương của d có dạng \(\overrightarrow u \left( {2;a;b} \right)\). Tính tổng a + b.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) có phương trình lần lượt là \(\frac{x}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{1},\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = 3\end{array} \right.(t \in \mathbb{R})\). Phương trình đường thẳng vuông góc với (P):7x + y – 4z = 0 và cắt cả hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) là.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;0) và vuông góc với đường thẳng \(d: \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}\)có
phương trình là:
 

Cho đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t \\ y=-3+t(t \in \mathbb{R}) \\ z=4-t \end{array}\right.\). Khi đó phưng trình chính tắc của đường thẳng là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 - t\\ y = 3 + 4t\\ z = 3 + 3t \end{array} \right.;{d_2}:\frac{x}{1} = \frac{{y + 8}}{{ - 4}} = \frac{{z + 3}}{{ - 3}}\) Tính góc hợp bởi đường thẳng \(d_1\,và\,d_2\)

Cho 3 vectơ \(\overrightarrow{u}=(3;7;0);\,\,\overrightarrow{v}=(2;3;1);\,\,\overrightarrow{w}=(3;-2;4).\) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow{a}=(-4;-12;3)\) theo 3 vectơ \(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{w}.\)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {3;\, – 1;\,1} \right)\). Gọi A’ là hình chiếu của A lên trục Oy. Tính độ dài đoạn OA’.

Góc tạo bởi hai véc tơ \(\overrightarrow a = \left( {2;2;4} \right);\overrightarrow b = \left( {2\sqrt 2 ; - 2\sqrt 2 ;0} \right)\) bằng 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm \(A(-2 ;-4 ; 5)\) . Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B , C sao cho tam giác ABC vuông.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \(A(1 ; 2 ; 3), B(1 ; 0 ; 2)\). Một vec tơ chỉ phương của đường thẳng AB là:

Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;2;-1), đường thẳng d có phương trình \(\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{3}=\frac{z}{2}\) và mặt phẳng (α) có phương trình \(x+y-z+3=0\) . Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm A , cắt d và song song với mặt phẳng (α) có phương trình l 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , \(A B=B C=a, A D=2 a\) , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB , CD . Tính cosin của góc giữa MN và (SAC)? 

Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt bên (SBC )  với mặt phẳng đáy bằng 45^o . Gọi M, N  lần lượt là trung điểm của AB và SB . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MD và CN?

Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ   Oxyz ,  tìm  tọa  độ  tâm I và  bán  kính R của  
mặt  cầu \(( S ) : ( x -1)^2 + y^2 + ( z +1)^2 = 4 .\)

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình -x+2y+3z-4 = 0. Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: ^x2 + y² + z²- 2x - 2y - 4z + 5 = 0

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Trong không gian Oxyz , véctơ nào dưới đây vuông góc với cả hai véctơ \(\vec{u}=(-1 ; 0 ; 2), \vec{v}=(4;-0;-1)\)

Trong không gian Oxyz, cho vec tơ \(\vec a = \overrightarrow {2i} – \vec j – 2\vec k\). Độ dài của vec tơ \(\overrightarrow a \) bằng