Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{{ – 2}} = \frac{{z + 2}}{1}; {d_2}:\frac{{x – 5}}{{ – 3}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 2}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3z – 5 = 0\). Đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\), cắt \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm. Gọi \(M = \Delta \cap {d_1}; N = \Delta \cap {d_2}\).
Vì \(M \in {d_1}\) nên \(M\left( {3 – t\,;\,3 – 2t\,;\, – 2 + t} \right)\),
vì \(N \in {d_2}\) nên \(N\left( {5 – 3s\,;\, – 1 + 2s\,;\,2 + s} \right)\).
\(\overrightarrow {MN} = \left( {2 + t – 3s\,;\, – 4 + 2t + 2s\,;\,4 – t + s} \right), \left( P \right)\) có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\);
Vì \(\Delta \bot \left( P \right)\) nên \(\overrightarrow n \,,\,\overrightarrow {MN} \) cùng phương, do đó:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2 + t – 3s}}{1} = \frac{{ – 4 + 2t + 2s}}{2}\\\frac{{ – 4 + 2t + 2s}}{2} = \frac{{4 – t + s}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}s = 1\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {1\,;\, – 1\,;\,0} \right)\,\,\\N\left( {2\,;\,1\,;\,3} \right)\end{array} \right.\)
\(\Delta \) đi qua M và có một vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {MN} = \left( {1\,;\,2\,;\,3} \right)\).
Do đó \(\Delta \) có phương trình chính tắc là \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{3}\).
