Trong không gian Oxyz , cho A(3;1;2), B(- 3;- 1;0) và mặt phẳng \((P): x+y+3 z-14=0\) . Điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB vuông tại M . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (Oxy).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTam giác MAB vuông tại M , suy ra M thuộc mặt cầu (S) đường kính \(A B=2 \sqrt{11}\)., tâm I(0;0;1) là trung điểm AB
\(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {11} \right|}}{{\sqrt {11} }} = \sqrt {11} = IA\)
Suy ra (P ) tiếp xúc (S )
Vì M thuộc (P) nên M là tiếp điểm của (P) và (S), hay M là hình chiếu của tâm I của mặt cầu (S) trên (P).
Đường thẳng IM qua I(0;0;1) và nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)làm véctơ chỉ phương có dạng:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I M:\left\{\begin{array}{l} x=t \\ y=t \\ z=1+3 t \end{array}(t \in \mathbb{R})\right. \\ M \in \Delta \Rightarrow M(t ; t ; 1+3 t) \\ M \in(P) \Leftrightarrow t+t+3(1+3 t)-14=0 \Leftrightarrow 11 \cdot t=11 \Leftrightarrow t=1 \Rightarrow M(1 ; 1 ; 4) \\ O x y: z=0 \end{array}\)
\(Suy \,ra: d(M,(O x y))=\frac{|4|}{\sqrt{1}}=4\)