Tổng các nghiệm của phương trình \((x-1)^{2} \cdot 2^{x}=2 x\left(x^{2}-1\right)+4\left(2^{x-1}-x^{2}\right)\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} (x-1)^{2} \cdot 2^{x}=2 x^{3}-2 x+2 \cdot 2^{x}-4 x^{2} \Leftrightarrow\left(x^{2}-2 x+1-2\right) \cdot 2^{x}=2 x\left(x^{2}-2 x-1\right) \\ \Leftrightarrow\left(x^{2}-2 x-1\right)\left(2^{x}-2 x\right)=0 \cdot \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x^{2}-2 x-1=0\,\,\,\,\,(1) \\ 2^{x}=2 x\,\,\,\,\,(2) \end{array}\right. \end{array}\)
\((1)\Leftrightarrow x_1=1-\sqrt2, x_2=1+\sqrt2\), vậy tổng hai nghiệm là 2.
\(\begin{array}{l} \text { Xét } f(x)=2^{x}-2 x \\ \text { Có } f^{\prime}(x)=2^{x} \ln 2-2 \\ f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=\log _{2} \frac{2}{\ln 2} \end{array}\)
Vì phương trình f '(x)=0 có 1 nghiệm nên phương trình (2) có tối đa 2 nghiệm.
Vì \(f(1)=f(2)=0\) nên phương trình (2) có hai nghiệm x=1 và x = 2 . Các nghiệm của phương trình (1) và (2) không trùng nhau.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho 2+1+2=5 .
