Cho \(m\) và \(n\) là các số nguyên dương khác \(1\). Gọi \(P\) là tích các nghiệm của phương trình \(8\left( {{\log }_{m}}x \right)\left( {{\log }_{n}}x \right)-7{{\log }_{m}}x-6{{\log }_{n}}x-2017=0\). Khi \(P\) là một số nguyên, tìm tổng \(m+n\) để \(P\) nhận giá trị nhỏ nhất?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t={{\log }_{m}}x\), lúc đó \(x={{m}^{t}}\)
Phương trình trở thành
\(\begin{array}{l} 8t\left( {{{\log }_n}{m^t}} \right) - 7t - 6{\log _n}{m^t} - 2017 = 0 \Leftrightarrow 8{t^2}{\log _n}m - 7t - 6t{\log _n}m - 2017 = 0\\ \Leftrightarrow 8\left( {{{\log }_n}m} \right){t^2} - \left( {7 + 6{{\log }_n}m} \right)t - 2017 = 0 \end{array}\)
Ta có \(\Delta ={{\left( 7+6{{\log }_{n}}m \right)}^{2}}+4.2017.8{{\log }_{n}}m\)
Lúc đó \({{x}_{1}}={{m}^{{{t}_{1}}}};{{x}_{2}}={{m}^{{{t}_{2}}}}\)
\({{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}}={{m}^{\frac{7+6{{\log }_{n}}m}{8{{\log }_{n}}m}}}=P\) nguyên
Lần lượt thử các đáp án ta chọn được đáp án C.