Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình \(\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{18+3 x-x^{2}} \leq m^{2}-m+1\) nghiệm đúng \(\forall x \in[-3,6] ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}>0 \Rightarrow t^{2}=(\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x})^{2}=9+2 \sqrt{(3+x)(6-x)}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 9 \leq t^{2}=9+2 \sqrt{(3+x)(6-x)} \leq 9+(3+x)+(6-x)=18 \\ \Rightarrow \sqrt{18+3 x-x^{2}}=\sqrt{(3+x)(6-x)}=\frac{1}{2}\left(t^{2}-9\right) ; t \in[3 ; 3 \sqrt{2}] \end{array}\)
Xét \(f(t)=-\frac{1}{2} t^{2}+t+\frac{9}{2} ; f^{\prime}(t)=1-t<0 ; \forall t \in[3 ; 3 \sqrt{2}] \Rightarrow \max \limits_{[3 ; 3 \sqrt{2}]} f(t)=f(3)=3\)
\(\mathrm{ycbt} \Leftrightarrow \max\limits _{[3 ; 3 \sqrt{2}]} f(t)=3 \leq m^{2}-m+1 \Leftrightarrow m^{2}-m-2 \geq 0 \Leftrightarrow m \leq-1 \text { hoặc } \mathrm{m} \geq 2\)