Cho hàm số \(:y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} – x + m + \frac{2}{3}\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\). Tất cả các giá trị của tham số m để \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3}\) thỏa \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 > 15\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:
\(\frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} – x + m + \frac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left[ {{x^2} + \left( { – 3m + 1} \right)x – 3m – 2} \right] = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\underbrace {{x^2} + \left( { – 3m + 1} \right)x – 3m – 2}_{g(x)} = 0\;\;{\rm{ }}(1)\end{array} \right.\)
\(\left( {{C_m}} \right)\) cắt Ox tại ba điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g} > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} + 6m + 9 > 0\\ – 6m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0\)
Gọi \({x_1} = 1\) còn \({x_2},\;{x_3}\) là nghiệm phương trình \(\left( {\rm{1}} \right)\) nên theo Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_2} + {x_3} = 3m – 1\\{x_2}{x_3} = – 3m – 2\end{array} \right.\)
Vậy
\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 > 15 \Leftrightarrow 1 + {\left( {{x_2} + {x_3}} \right)^2} – 2{x_2}{x_3} > 15\\ \Leftrightarrow {\left( {3m – 1} \right)^2} + 2\left( {3m + 2} \right) – 14 > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} – 9 > 0 \Leftrightarrow m > 1 \vee m < – 1\end{array}\)
Vậy chọn \(m > 1 \vee m < – 1\)