Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y=\frac{x^3}{3}-(m^2-3m)x^2-12x\) đạt cực đại tại x=2
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} TXĐ:\,D =\mathbb{R} \\ y' = {x^2} - 2({m^2} - 3m)x - 12,\,\,\,y'' = 2x - 2({m^2} - 3m)\\ \end{array}\)
Hàm số đạt cực đại tại x=2
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y'(2) = 0\\ y''(2) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 - 4\left( {{m^2} - 3m} \right) - 12 = 0\\ 4 - 2{m^2} + 6m < 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{m^2} + 12m - 8 = 0\\ - 2{m^2} + 6m + 4 < 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = 2 \end{array} \right.\\ m \in \left( { - \infty ;\frac{{3 - \sqrt {17} }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}; + \infty } \right) \end{array} \right. \end{array}\\ \Rightarrow m\in\emptyset\)