Số phức z thỏa mãn \(\left| {z – 3 – 4i} \right| = \sqrt 5 \). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left| {z + 2} \right|^2} – {\left| {z – i} \right|^2}\). Tính môđun của số phức w = M + mi.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức z.
Với giả thiết \(\left| {z – 3 – 4i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – 3} \right)}^2} + {{\left( {y – 4} \right)}^2}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 5\).
Nên M nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3\,;4} \right)\); bán kính \(R = \sqrt 5 \)
Có \(P = {\left| {z + 2} \right|^2} – {\left| {z – i} \right|^2} \Rightarrow P = \left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} \right] – \left[ {{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} \right]\).
\( \Leftrightarrow P = 4x + 2y + 3 \Leftrightarrow 4x + 2y + 3 – P = 0\).
Nên M nằm trên đường thẳng d:4x + 2y + 3 – P = 0.
Suy ra đường tròn \(\left( C \right)\) và đường thẳng d phải có điểm chung.
\(d\left( {I;d} \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {23 – P} \right|}}{{2\sqrt 5 }} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {23 – P} \right| \le 10 \Leftrightarrow – 10 \le 23 – P \le 10\).
\( \Leftrightarrow 13 \le P \le 33\).
Như vậy \(\left\{ \begin{array}{l}M = 33\\m = 13\end{array} \right. \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{{33}^2} + {{13}^2}} = \sqrt {1258} \).
