Phương trình \(3^{3+3 x}+3^{3-3 x}+3^{4+x}+3^{4-x}=10^{3}\) có tổng các nghiệm là?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &3^{3+3 x}+3^{3-3 x}+3^{4+x}+3^{4} y^{5}=10^{3}(1)\\ &(1) \Leftrightarrow 27.3^{3 x}+\frac{27}{3^{3 x}}+81.3^{x}+\frac{81}{3^{x}}=10^{3} \Leftrightarrow 27 .\left(3^{3 x}+\frac{1}{3^{3 x}}\right)+81 .\left(3^{x}+\frac{1}{3^{x}}\right)=10^{3}\,\,\,\,(2) \end{aligned}\)
Đặt \(t=3^{x}+\frac{1}{3^{x}} \geq 2 \sqrt{3^{x} \cdot \frac{1}{3^{x}}}=2\)(bất đẳng thức Co- si)
\(\Rightarrow t^{3}=\left(3^{x}+\frac{1}{3^{x}}\right)^{3}=3^{3 x}+3.3^{2 x} \cdot \frac{1}{3^{x}}+3.3^{x} \cdot \frac{1}{3^{2 x}}+\frac{1}{3^{3 x}} \Leftrightarrow 3^{3 x}+\frac{1}{3^{3 x}}=t^{3}-3 t\)
Khi đó \((2) \Leftrightarrow 27\left(t^{3}-3 t\right)+81 t=10^{3} \Leftrightarrow t^{3}=\frac{10^{3}}{27} \Leftrightarrow t=\frac{10}{3}>2\)
Với \(t=\frac{10}{3} \Rightarrow 3^{x}+\frac{1}{3^{x}}=\frac{10}{3}\,\,\,\,(3)\)
Đăt \(y=3^{x}>0 \)
Khi đó \((3)\Leftrightarrow y+\frac{1}{y}=\frac{10}{3} \Leftrightarrow 3 y^{2}-10 y+3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} y=3 \\ y=\frac{1}{3} \end{array}\right.\)
\(\text { Với } y=3 \Rightarrow 3^{x}=3 \Leftrightarrow x=1\)
\(\text { Với } y=\frac{1}{3} \Rightarrow 3^{x}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow x=-1\)
Tổng các nghiệm là 0
