Nguyên hàm của \(I=\int x \sin ^{2} x d x\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa biến đổi:
\(I=\int x \sin ^{2} x d x=\int x\left(\frac{1-\cos 2 x}{2}\right) d x=\frac{1}{2} \int x d x-\frac{1}{2} \int x \cos 2 x d x\\ =\frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{2} \int x \cos 2 x d x+C_{1}\)
Đặt \(I_{1}=\int x \cos 2 x d x\)
\(\text { Đặt }\left\{\begin{array}{l} u=x \\ d v=\cos 2 x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} d u=d x \\ v=\frac{1}{2} \sin 2 x \end{array}\right.\right.\)
\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow {I_1} = \int x \cos 2xdx = \frac{1}{2}x\sin 2x - \frac{1}{2}\int {\sin } 2xdx = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C}\\ { \Rightarrow I = \frac{1}{4}{x^2} - \frac{1}{4}x.\sin 2x - \frac{1}{8}\cos 2x = \frac{1}{4}\left( {{x^2} - x.\sin 2x - \frac{1}{2}\cos 2x} \right)}+C\\ \end{array}\)
