Gọi S là tập hợp những điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z−1−i| = 1. Cho P là một điểm chạy trên S. Khi đó số phức tương ứng với P có môđun lớn nhất bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi
\(\begin{array}{l} z = x + iy,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (x,y \in R).\\ \left| {z - 1 - i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {x + iy - 1 - i} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {1^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( C \right). \end{array}\)
Gọi I là tâm của đường tròn (C).
Với mọi điểm P bất kì chạy trên SS, ta có OP ≤ OM + MP, dó đó số phức tương ứng với P có môđun lớn nhất khi và chỉ khi OP lớn nhất ⇔ OP = OM + MP ⇔ 3 điểm O,M,P thẳng hàng và M nằm giữa O và P ⇔ P ≡ P′ (xP>1)
Phương trình đường thẳng OI: y = x. Tọa độ P′ là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} = 1\\ y = x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{(x - 1)^2} = 1\\ y = x \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} y = x = 1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ y = x = 1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}(loai) \end{array} \right. \Rightarrow P\prime (1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2};1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2})\\ \Rightarrow OP = \sqrt {{{\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \sqrt {3 + 2\sqrt 2 } = \sqrt 2 + 1. \end{array}\)
Vậy số phức tương ứng với P có môđun lớn nhất bằng \(\sqrt 2 + 1.\)
