Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(|z|(z-3-i)+2 i=(4-i) z ?\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &|z|(z-3-i)+2 i=(4-i) z \Leftrightarrow(|z|-4+i) z=3|z|+(|z|-2) i(*)\\ &\Rightarrow \sqrt{(|z|-4)^{2}+1}|z|=\sqrt{9|z|^{2}+(|z|-2)^{2}}(1) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Đặt } m=|z| \geq 0 \text { ta có }\\ &(1) \Leftrightarrow\left((m-4)^{2}+1\right) \cdot m^{2}=9 m^{2}+(m-2)^{2} \Leftrightarrow m^{4}-8 m^{3}+7 m^{2}+4 m-4=0\\ &\Leftrightarrow(m-1)\left(m^{3}-7 m^{2}+4\right)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=1 \\ m^{3}-7 m^{2}+4=0 \end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=1 \\ m \approx 6,91638 \\ m \approx 0.80344 \\ m \approx-0.71982 (l) \end{array}\right.\right. \end{aligned}\)Từ (*) ta suy ra ứng với mỗi \(|z|=m\) sẽ có một số phức \(z=\frac{3 m+(m-2) i}{m-4+i}\) thỏa mãn đề bài.
Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.