Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : \(\left| {z – 1 + 2i} \right| = \sqrt 5 \) và w = z + 1 + i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(z = x + yi\quad \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\quad \Rightarrow z – 1 + 2i = \left( {x – 1} \right) + \left( {y + 2} \right)i\)
Ta có: \(\left| {z – 1 + 2i} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\)
Suy ra tập hợp điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {1; – 2} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 5 \) như hình vẽ:
Dễ thấy \(O \in \left( C \right), N\left( { – 1; – 1} \right) \in \left( C \right)\)
Theo đề ta có: \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
\(w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = \left( {x + 1} \right) + \left( {y + 1} \right)i\)
\( \Rightarrow \left| {z + 1 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|\)
Suy ra \(\left| {z + 1 + i} \right|\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow MN\) lớn nhất
Mà \(M,N \in \left( C \right)\) nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn \(\left( C \right)\)
\( \Leftrightarrow I\) là trung điểm \(MN \Rightarrow M\left( {3; – 3} \right) \Rightarrow z = 3 – 3i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 \)
