Cho \(\overrightarrow u (1;1;2),\overrightarrow v ( - 1;3;1).\) Tìm vec tơ đơn vị đồng phẳng với \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) và tạo với \(\overrightarrow u \) góc 450.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi vec tơ phải tìm là \(\overrightarrow {\rm{w}} (x;y;z).\)
Theo giả thiết \(\left| {\overrightarrow {\rm{w}} } \right| = {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\)
\(\eqalign{ & \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {\rm{w}} } \right) = \cos {45^0} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr&\Rightarrow {{x + y + 2z} \over {\sqrt 6 }} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \Rightarrow x + y + 2z = \sqrt 3 . \cr} \)
Mặt khác \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \) đồng phẳng nên \(\overrightarrow {\rm{w}} = k\overrightarrow u + l\overrightarrow v .\)
\( \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = k - l \hfill \cr y = k + 3l \hfill \cr z = 2k + l \hfill \cr} \right. \Rightarrow 5x + 3y - 4z = 0.\)
Vậy ta có hệ phương trình :
\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1 \hfill \cr x + y + 2z = \sqrt 3 \hfill \cr 5x + 3y - 4z = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = 5z - {{3\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr y = {{5\sqrt 3 } \over 2} - 7z \hfill \cr} \right. \cr & \Rightarrow 150{z^2} - 100\sqrt 3 z + 49 = 0 \cr & \Rightarrow z = {{(10 \pm \sqrt 2 )\sqrt 3 } \over {30}} \Rightarrow x = {{\left( {1 \pm \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6},\cr&y = {{\left( {5 \pm 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}}. \cr} \)
Kết luận : Có hai vectơ thỏa mãn yêu cầu của bài toán :
\( \left( {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6};{{\left( {5 - 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}};{{(10 + \sqrt 2 )\sqrt 3 } \over {30}}} \right) \)
\(\left( {{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over 6};{{\left( {5 + 7\sqrt 2 } \right)\sqrt 3 } \over {30}};{{(10 - \sqrt 2 )\sqrt 3 } \over {30}}} \right) \)
