Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên \(SAB\) là tam giác đều, \(SC=SD=a\sqrt{3}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(I\) là trung điểm AB;J là trung điểm của \(CD\) từ giả thiết ta có:
\(IJ=a;SI=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) và \(SJ=\sqrt{S{{C}^{2}}-J{{C}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}\)
.png)
Áp dụng định lý cosin cho tam giác \(S\text{IJ}\) ta có:
\(\cos \left( \widehat{S\text{IJ}} \right)=\frac{\text{I}{{\text{J}}^{2}}\text{+I}{{\text{S}}^{2}}-S{{J}^{2}}}{2.\text{IJ}\text{.IS}}=\frac{{{a}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}-\frac{11{{a}^{2}}}{4}}{2.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=-\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}<0\)
Suy ra, tam giác \(SIJ\) là tam giác có \(\widehat{S\text{IJ}}\) tù. Từ giả thiết tam giác \(SAB\) đều và tam giác \(SCD\) là cân đỉnh \(S.\) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(\left( ABCD \right),\) ta có \(H\) thuộc \(\text{IJ}\) và \(I\) nằm giữa \(HJ\) tức là tam giác vuông \(SHI\) có \(\widehat{H}={{90}^{0}}.\)
Góc \(I\) nhọn và \(\cos \widehat{I}=c\text{os}\widehat{SIH}=-c\text{os}\widehat{S\text{IJ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left( \widehat{S\text{IJ}}\,\,va\,\,\widehat{SIH}\,\,ke\,\,\,bu \right)\Rightarrow \sin \widehat{SIH}=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)
Xét tam giác SHI ta có \(SH=SI.\sin \widehat{SIH}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vậy \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SH=\frac{1}{3}{{a}^{2}}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng \(45{}^\circ \) ( tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng:
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A; AB = a; AC = 2a. Đỉnh S cách đều A,B,C; mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là.
-
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi, biết AA’ = 4a, AC = 2a, BD = a. Thể tích của khối lăng trụ là:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, đáy nhỏ của hình thang là CD, cạnh bên \(SC=a\sqrt{15}\). Tam giác \(SAD\) là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy hình chóp. Gọi H là trung điểm cạnh AD, khoảng cách từ B tới mặt phẳng \(\left( SHC \right)\) bằng \(2\sqrt{6}a\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\)?
-
Cho lăng trụ đứng ABC .A'B'C' có AA'= 3. Tam giác A'BC có diện tích bằng 6 và tạo với mặt đáy (ABC) góc 600 .Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right), SB = 2a\). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3, cạnh bên bằng tạo với mặt phẳng đáy một góc 300. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
-
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy là tam giác cân tại A, AB=AC=2a, \(\widehat{CAB}={{120}^{{}^\circ }}\), góc giữa \(\left( {A}'BC \right)\) và \(\left( ABC \right)\) là \(45{}^\circ \). Tính thể tích lăng trụ đã cho.
-
Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng 6 và chiều cao bằng 5
-
Nếu khối chóp S.ABC có SA = a, SB = 2a, SC = 3a và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = 90^\circ \) thì có thể tích được tính theo công thức
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, A B=A C=a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi I là trung điểm của BC, SI tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ vì M là trung điểm của CC’. Gọi khối đa diện (H) là phần còn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chóp M.ABC. Tỷ số thể tích của (H) và khối chóp M.ABC là:
-
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng a. Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và song song \(BC\) và vuông góc với \(\left( SBC \right),\) góc giữa \(\left( P \right)\) với mặt phẳng đáy là \({{30}^{0}}.\) Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là:
-
Cho khối lăng trụ đứng ABC A' B' C' có đáy là tam giác đều cạnh a và \(A A^{\prime}=\sqrt{3} a\)3 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, \(A D=D C=1, A B=2\). Cạnh bên SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc 450 .Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác ABC vuông tại C, \(AB=a\sqrt{5}\), AC=a. Cạnh bên \(SA=3a\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
-
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600 .Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 4a3, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng a2. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB)
