Cho hình chóp S.ABC biết \(AB = 8,\,\,BC = 4,\widehat {\,ABC} = {60^0}\). Hình chiếu của S lên cạnh AB là điểm K sao cho KB = 3KA. Biết \(SB,\,SC\) cùng hợp với đáy một góc \({60^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2} – 2AB.BC.\cos \widehat {ABC}} = 4\sqrt 3 \).
Trong \(\Delta ABC\) có: \(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2}\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại C.
Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SH\\AB \bot SK\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot HK\).
Ta có BH là hình chiếu của SB trên mp \(\left( {ABC} \right)\), CH là hình chiếu của SC trên mp \(\left( {ABC} \right)\) nên góc giữa SB và mp \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {SBH}\) và góc giữa SC và mp \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {SCH}\). Theo giả thiết: \(\widehat {SBH} = \widehat {SCH} = {60^0}\) do đó: \(HB = HC \Rightarrow HM \bot BC \Rightarrow HM//AC\).
Suy ra đường thẳng HM đi qua trung điểm I của AB.
Ta có \(\Delta HKI\) và \(\Delta BMI\) đồng dạng nên: \(\frac{{HI}}{{BI}} = \frac{{KI}}{{MI}} \Leftrightarrow \frac{{HI}}{4} = \frac{2}{{2\sqrt 3 }} \Leftrightarrow HI = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Do đó \(HM = HI + IM = \frac{{4\sqrt 3 }}{3} + 2\sqrt 3 = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}, HB = \sqrt {H{M^2} + M{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{10\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} + 4} = \frac{{4\sqrt {21} }}{3}\),
\(SH = HB.tan{60^0} = 4\sqrt 7 \).
Diện tích tam giác ABC: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AC.BC = 8\sqrt 3 \).
Thể tích khối chóp S.ABC là \(V = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}4\sqrt 7 .8\sqrt 3 = \frac{{32\sqrt {21} }}{3}\).
Câu hỏi liên quan
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt phẳng (SAD) một góc 300. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
-
Thể tích V của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h là
-
Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CA. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SN bằng
-
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB'=a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = \(a\sqrt 2 \). Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, đáy nhỏ của hình thang là CD, cạnh bên \(SC=a\sqrt{15}\). Tam giác \(SAD\) là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy hình chóp. Gọi H là trung điểm cạnh AD, khoảng cách từ B tới mặt phẳng \(\left( SHC \right)\) bằng \(2\sqrt{6}a\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\)?
-
Cho hình lăng trụ \(ABCA'B'C'\) có thể tích bằng 48cm3. M, N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh CC’, BC và B’C’, khi đó thể tích của khối chóp \(A'MNP\) là
-
Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 9a. Tính thể tích khối lăng trụ đó.
-
Một người thợ nhôm kính nhận được đơn đặt hàng làm một bể cá cảnh bằng kính dạng hình hộp chữ nhật không có nắp có thể tích 3,2 m3; tỉ số giữa chiều cao của bể cá và chiều rộng của đáy bể bằng 2 (hình dưới). Biết giá một mét vuông kính để làm thành và đáy của bể cá là 800 nghìn đồng. Hỏi người thợ đó cần tối thiểu bao nhiêu tiền để mua đủ số mét vuông kính làm bể cá theo yêu cầu (coi độ dày của kính là không đáng kể so với kích thước của bể cá).
.png)
-
Thể tích (cm3) khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng \(\sqrt{2}\)cm là:
-
Cho hình chóp S.ABC có \(AB=a, B C=a \sqrt{3} \text { và } \widehat{A B C}=60^{\circ}\)Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy là 450. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Hình chóp SABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm \(SA,\text{ }SB,\text{ }SC.\) Đặt \(k=\frac{{{V}_{MNPABC}}}{{{V}_{SABC}}}\). Khi đó giá trị của k là
-
Cho khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên bằng 3a2 .Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). I là trung điểm BB’. Mặt phẳng (DIC’) chia khối lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:
-
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 600 .Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Thể tích của khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh a, A'B = 2a.
-
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Gọi O,O′ lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A′B′C′D′. Gọi V1 là thể tích của khối trụ tròn xoay có đáy là 2 đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và A′B′C′D′, V2 là thể tích khối nón tròn xoay đỉnh O và có đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông A′B′C′D′. Tỷ số thể tích \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) là:
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'.\) Gọi O’, O là tâm của hai hình vuông ABCD và \(A'B'C'D'\) và \(O'O=a.\) Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích của hình trụ tròn xoay đáy là hai đường tròn ngoại tiếp các hình vuông \(ABCD,A'B'C'D'\) và \({{V}_{2}}\) là thể tích hình nón tròn xoay đỉnh O’ và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông \(ABCD.\) Tỉ số thể tích \(\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}\) là:
-
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, tam giác ABC đều. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng đáy góc 300 Thể tích của khối chóp đã cho bằng
-
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, cạnh đáy bằng a. Gọi N, I lần lượt là trung điểm của AB, BC; góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và (ABC) bằng \({{60}^{o}}\). Tính theo a thể tích khối chóp NAC’I?
